Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy: 
 
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral de uma Equação de Euler-Cauchy. Essa é uma equação diferencial muito usada quando as variáveis aparecem multiplicadas pelas derivadas. A equação que temos é:
Pra resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de equações diferenciais ordinárias e entender como trabalhar com equações que têm essa forma especial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Euler-Cauchy tem a forma geral:
Nossa equação se encaixa aqui com 
  e 
 .
Passo 3
A estratégia para resolver esse tipo de equação é assumir que a solução tem a forma 
 , onde 
  é um número que a gente precisa descobrir. Então, vamos substituir 
  na equação original.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as derivadas de 
 :
- 
A primeira derivada:
 - 
A segunda derivada:
 
Passo 5
Agora, substituímos 
 , 
  e 
  na equação original:
Simplificando cada termo:
- 
O primeiro termo:
 - 
O segundo termo:
 - 
O terceiro termo já está simplificado:
 
Passo 6
Agora, nossa equação fica:
Podemos fatorar 
 :
Como 
  nunca é zero, podemos focar na parte que está dentro dos parênteses:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la para encontrar os valores de 
 .
Passo 8
A equação quadrática é:
Podemos fatorar:
Isso significa que temos uma raiz dupla:
Passo 9
Como temos uma raiz dupla (
 ), a solução geral da equação de Euler-Cauchy será:
Substituindo 
 :
Resposta
A solução geral da equação é: