Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 10y = 0
Isto é um EDO homogênea. Para resolvê-la, formamos a equação característica associada.

Passo 2

A equação característica é
r^2 - 2r + 10 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot10 = 4 - 40 = -36 < 0.
Logo as raízes são complexas:
r = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2} = 1 \pm 3\,i.

Passo 3

Para raízes r= \alpha\pm\beta i com \alpha=1, \beta=3, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo, obtemos
\boxed{y(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x)\bigr)}.

Passo 4

Para o problema de valor inicial, suponha
y(0)=y_0, \quad y'(0)=y_1.
Calculamos y(0) e y'(0) em termos de C_1,C_2:
- Em x=0:
y(0)=e^0\bigl(C_1\cos0 + C_2\sin0\bigr)=C_1,
logo C_1 = y_0.
- Derivando a solução geral:
y'(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos3x + C_2\sin3x\bigr) + e^{x}\bigl(-3C_1\sin3x + 3C_2\cos3x\bigr)
\phantom{y'(x)} = e^{x}\bigl((C_1+3C_2)\cos3x + (C_2-3C_1)\sin3x\bigr).
Em x=0:
y'(0)=C_1 + 3C_2 = y_1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{y_1 - C_1}{3} = \frac{y_1 - y_0}{3}.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, a solução do IVP fica
\boxed{% y(x) = e^{x}\Bigl(y_0\cos(3x) + \frac{y_1 - y_0}{3}\,\sin(3x)\Bigr). }

Resposta

Solução geral:
y(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x)\bigr).
Solução do IVP com y(0)=y_0, y'(0)=y_1:
y(x) = e^{x}\Bigl(y_0\cos(3x) + \frac{y_1 - y_0}{3}\,\sin(3x)\Bigr).