Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. (4 x^3 - sen(x) + y^3) dx - (y^2 + 1 - 3 x y^2) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que é exata, precisamos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Vamos integrar para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta na função potencial :

Passo 8

A solução geral da equação será , onde é uma constante. Assim:

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 10

Finalmente, substituímos na solução geral:
Podemos rearranjar para deixar a solução explícita:

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial , é:

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