Encontre a solução do PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-y=0 \\\ y(0)=\frac{5}{4}, \quad y^{\prime}(0)=-\frac{3}{4}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI) abaixo e pede a solução y(x):
\left\{\begin{array}{l} y''-y=0,\\[4pt] y(0)=\dfrac{5}{4},\quad y'(0)=-\dfrac{3}{4}. \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes constantes: y''-y=0.
  • Existem duas condições iniciais no ponto x=0: y(0)=\dfrac{5}{4} e y'(0)=-\dfrac{3}{4}.
  • A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Método escolhido e por que: para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, o método padrão é procurar soluções do tipo exponencial y=e^{rx}. Isso transforma a ODE em uma equação algébrica (a equação característica), cuja solução fornece os expoentes r. Esse é o método mais direto e apropriado aqui porque os coeficientes são constantes e a equação é homogênea.
Explicação do porquê usar y=e^{rx}: se y=e^{rx}, então y' = r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Substituindo na equação diferencial, o fator e^{rx} é comum e não nulo, sobrando uma equação para r (a equação característica).

Passo 3

Formar e resolver a equação característica.
Assumindo y=e^{rx} e substituindo em y''-y=0 dá:
r^2 e^{rx}-e^{rx}=0 \quad\Longrightarrow\quad (r^2-1)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^2-1=0.
Resolvendo:
r^2=1 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 1.

Passo 4

Consequência dos valores de r para a solução geral.
Quando as raízes da equação característica são reais e distintas (aqui r_1=1 e r_2=-1), a solução geral da ODE homogênea é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo as raízes:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calcular a derivada y'(x) e aplicar as condições iniciais para obter um sistema para C_{1} e C_{2}.
Derivando a solução geral:
y'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}.
Aplicando y(0)=\dfrac{5}{4}:
y(0)=C_{1}+C_{2}=\dfrac{5}{4}.
Aplicando y'(0)=-\dfrac{3}{4}:
y'(0)=C_{1}-C_{2}=-\dfrac{3}{4}.
Assim obtemos o sistema linear para C_{1} e C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\dfrac{5}{4},\\[6pt] C_{1}-C_{2}=-\dfrac{3}{4}. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para C_{1} e C_{2}.
Somando as duas equações:
(C_{1}+C_{2})+(C_{1}-C_{2})= \dfrac{5}{4} + \left(-\dfrac{3}{4}\right)
2C_{1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\dfrac{1}{4}.
Substituindo C_{1} em C_{1}+C_{2}=\dfrac{5}{4}:
\dfrac{1}{4}+C_{2}=\dfrac{5}{4}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{4}=1.
Concluímos que C_{1}=\dfrac{1}{4} e C_{2}=1.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{4}e^{x}+e^{-x}