Encontre a solução dos seguintes P.V.I.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}=\frac{2 t}{y+t^{2} y} \\\ y(0)=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o P.V.I.
\frac{dy}{dt} = \frac{2t}{y + t^{2}y},\qquad y(0) = -2.
Trata-se de uma EDO separável: vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Repare que y + t^{2}y = y(1 + t^{2}). Então a equação fica
\frac{dy}{dt} = \frac{2t}{y(1+t^2)}.
Multiplicando ambos os lados por y\,dt, obtemos
y\,dy = \frac{2t}{1+t^2}\,dt.

Passo 3

Integramos cada membro:
\int y\,dy = \int \frac{2t}{1+t^2}\,dt.
O lado esquerdo dá \tfrac{y^2}{2} e o direito dá \ln(1+t^2)+C. Logo,
\frac{y^2}{2} = \ln(1+t^2) + C.

Passo 4

Multiplicando por 2 e chamando C' = 2C, vem
y^2 = 2\ln(1+t^2) + C'.
Usando a condição inicial y(0)=-2, temos
(-2)^2 = 4 = 2\ln(1+0) + C' \quad\Longrightarrow\quad C' = 4.
Assim
y^2 = 2\ln(1+t^2) + 4.

Passo 5

Para achar y, extraímos a raiz quadrada:
y = \pm\sqrt{2\ln(1+t^2) + 4}.
Como y(0)=-2 é negativo, escolhemos o sinal “–”. Portanto
y(t) = -\sqrt{2\ln(1+t^2) + 4}.

Resposta

y(t) = -\sqrt{2\ln(1+t^2) + 4}.

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