Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais não homogêneas, como o Método de Variação dos Parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo :
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
Fatorando, temos:
As raízes são (com multiplicidade 2) e . Portanto, a solução complementar (a parte geral da solução homogênea) é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação não homogênea . Como o termo do lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Onde , e são constantes que precisamos determinar.
Vamos derivar até a terceira ordem:
Substituindo na equação original:
Igualando os termos semelhantes, resolvemos para , e :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada termo devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
De , com , temos .
De , com , temos .
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
No entanto, notamos que a solução particular envolveu termos com yp = 34 x^2 + (12 x^2 - 2x) ln x + e^x integral e^-x ln x , dx que já estão presentes na solução complementar . Para evitar a redundância, precisamos adicionar um termo adicional multiplicado por :
Aqui, o termo representa a parte não-elementar da solução que envolve a integral da função logarítmica.
Resposta
A solução particular para a equação diferencial dada é:
yp = 34 x^2 + (12 x^2 - 2 x) ln x + e^x integral e^-x ln x , dx