Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.
(i) sumn=1^infty n x^n, |x|<1 (ii) sumn=1^infty n2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a soma de duas séries infinitas. Isso envolve matemática de séries e, mais especificamente, séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como somar séries geométricas e usar um pouco de cálculo básico, tipo derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série (i):
sumn=1^infty n x^n, |x| < 1
Essa é uma série onde cada termo é da forma S = sumn=0^infty x^n = 11 - x, |x| < 1 . Para somar isso, a gente pode aproveitar uma fórmula conhecida para séries geométricas. Vamos começar com a série geométrica básica:
dSdx = sumn=0^infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2
Agora, para trazer o x cdot dSdx = sumn=0^infty n x^n = x(1 - x)^2 para dentro da soma, vamos derivar ambos os lados em relação a sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2 :
Multiplicando ambos os lados por para ajustar a potência:
Como a soma começa em , o resultado permanece o mesmo:

Passo 3

Agora, vamos para a série (ii):
sumn=1^infty n2^n
Essa série também tem a forma sumn=1^infty n2^n = 12(1 - 12)^2 = 12(12)^2 = 1214 = 2 , onde . Já sabemos a fórmula geral para , então vamos substituir por :

Resposta

A soma da série (i) é e a soma da série (ii) é 2.

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