Encontre a soma da série
sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n3^2 n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série juntos! O enunciado pede para encontrar a soma da série:
sumn=0^infty (-1)^n 2^2 n3^2 n (2 n)!
Aqui, estamos lidando com uma série infinita, que envolve fatoriais e potências. Para resolver, vamos precisar conhecer séries de potências e algumas funções trigonométricas que podem nos ajudar a simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série. Observe que (-1)^n 4^n9^n (2n)! = (-1)^n (49)^n(2n)! é o mesmo que elevado a , ou seja, . Da mesma forma, é . Então, podemos reescrever a fração assim:

Passo 3

Agora, nossa série fica:
sumn=0^infty (-1)^n (49)^n(2n)!
Isso se parece muito com a expansão em série de uma função trigonométrica. Lembra da série de cosseno? A série de cosseno é:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!

Passo 4

Comparando as duas séries, vemos que se identificarmos x^2n = (49)^n implies x^2 = 49 implies x = 23 com , temos:

Passo 5

Portanto, nossa série original é igual à série de cosseno avaliada em sumn=0^infty (-1)^n (49)^n(2n)! = cos(23) :

Resposta

A soma da série é igual a .

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