Encontre o termo geral
para as sequências abaixo sabendo-se que
e que:
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e, para todo
,
Este é um problema de recorrência que envolve produto sucessivo de inversos de inteiros, ou seja, fatorial. Nosso objetivo é encontrar uma expressão fechada para
.
Passo 2
Vamos calcular alguns termos iniciais para identificar o padrão:
Observamos que
Passo 3
Fazendo prova por indução para validar
:
Base
:
Passo indutivo: suponha que
. Então
Logo, a fórmula vale para
. Por indução, está comprovado que
para todo
.