Encontre o termo geral a_{n} para as sequências abaixo sabendo-se que a_{0}=1 e que:
a_{n+1}=\frac{a_{n}}{n+1}.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_0 = 1
e, para todo n\ge0,
a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1}.
Este é um problema de recorrência que envolve produto sucessivo de inversos de inteiros, ou seja, fatorial. Nosso objetivo é encontrar uma expressão fechada para a_n.

Passo 2

Vamos calcular alguns termos iniciais para identificar o padrão:
a_1 = \frac{a_0}{1} = \frac{1}{1} = 1,
a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2},
a_3 = \frac{a_2}{3} = \frac{1}{2\cdot3} = \frac{1}{6},
a_4 = \frac{a_3}{4} = \frac{1}{2\cdot3\cdot4} = \frac{1}{24}.
Observamos que
a_n = \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdots n} = \frac{1}{n!}.

Passo 3

Fazendo prova por indução para validar \displaystyle a_n=\frac1{n!}:
Base n=0:
a_0 = 1 = \frac{1}{0!}.
Passo indutivo: suponha que a_n = \tfrac{1}{n!}. Então
a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1} = \frac{1}{n!}\,\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}.
Logo, a fórmula vale para n+1. Por indução, está comprovado que \displaystyle a_n=\frac1{n!} para todo n\ge0.

Resposta

a_n = \frac{1}{n!}.

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