Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50. w = x^2 tg(x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Conteúdo da matéria: Derivadas parciais de funções de duas variáveis, especificamente as derivadas de segunda ordem.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento de derivadas parciais.
  • Regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
  • Conhecimento das derivadas da função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, .
A função é .
Usamos a regra do produto aqui, já que temos um produto de duas funções de :
Calculando cada parte:
Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra do produto:
Aplicando a regra da cadeia:
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, , que é a derivada de em relação a .
Lembrando que:
Derivando cada termo:
Para :
Para :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a .
Lembrando que:
Derivando cada termo em relação a :
Para :
Para :
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular . Por propriedades das derivadas parciais contínuas, geralmente . Porém, vamos verificar.
Derivando em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Por fim, vamos calcular , que é a derivada de em relação a .
Lembrando que:
Derivando:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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