Encontre todos os escalares
e
tais que
, onde
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os escalares
e
que satisfazem a equação
. Aqui estamos lidando com combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para os escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear
de forma mais detalhada usando as coordenadas dos vetores:
Isso se traduz em três equações, uma para cada componente:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar valores para
e
que fazem todas as três equações serem verdadeiras ao mesmo tempo.
Passo 4
Começando pela equação (2):
Isso significa que
é igual a
. Vamos usar isso para simplificar as outras equações.
Passo 5
Substituímos
por
na equação (1):
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação (3):
Substituindo
por
:
Calculando:
Somando os termos:
Convertendo
para ter denominador 3:
Isso implica que
.
Passo 7
Agora que sabemos que
, voltamos para
:
E como
:
Resposta
Os únicos escalares que satisfazem a equação são
,
e
.