Encontre todos os escalares c1, c2 e c3 tais que c1 u+c2 v+c3 w=(0,0,0), onde u=(-3,1,2), v=(4,0,-8) e w=(6,-1,-4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os escalares e que satisfazem a equação . Aqui estamos lidando com combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para os escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear c1 (-3, 1, 2) + c2 (4, 0, -8) + c3 (6, -1, -4) = (0, 0, 0) de forma mais detalhada usando as coordenadas dos vetores:
-3c1 + 4c2 + 6c3 = 0 (1)
Isso se traduz em três equações, uma para cada componente:
c1 + 0c2 - c3 = 0 (2)
2c1 - 8c2 - 4c3 = 0 (3)

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar valores para e que fazem todas as três equações serem verdadeiras ao mesmo tempo.

Passo 4

Começando pela equação (2):
c1 - c3 = 0 implies c1 = c3
Isso significa que é igual a . Vamos usar isso para simplificar as outras equações.

Passo 5

Substituímos -3c3 + 4c2 + 6c3 = 0 implies ( -3c3 + 6c3 ) + 4c2 = 0 implies 3c3 + 4c2 = 0 por 3c3 = -4c2 implies c3 = -43c2 na equação (1):
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos 2c1 - 8c2 - 4c3 = 0 implies 2c3 - 8c2 - 4(-43c2) = 0 na equação (3):
2(-43c2) - 8c2 + 163c2 = 0
Substituindo -83c2 - 8c2 + 163c2 = 0 por (-83 + 163)c2 - 8c2 = 0 implies 83c2 - 8c2 = 0 :
83c2 - 243c2 = -163c2 = 0
Calculando:
Somando os termos:
Convertendo para ter denominador 3:
Isso implica que .

Passo 7

Agora que sabemos que c3 = -43 times 0 = 0 , voltamos para c1 = 0 :
E como :

Resposta

Os únicos escalares que satisfazem a equação são , e .

Exercícios relacionados