Encontre todos os valores complexos z que satisfaçam a equação dada.
(d) \operatorname{senh} z=e^{z}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os z\in\mathbb{C} tais que
\operatorname{sinh} z = e^{z}.
Aqui vamos usar a definição da função hiperbólica e resolver uma equação exponencial em \mathbb{C}.

Passo 2

Usamos a definição
\operatorname{sinh} z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}.
Então a equação fica
\frac{e^{z} - e^{-z}}{2} = e^{z}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando, obtemos
e^{z} - e^{-z} = 2e^{z} \quad\Longrightarrow\quad -e^{-z} = e^{z} \quad\Longrightarrow\quad e^{z} + e^{-z} = 0.
Multiplicando por e^{z}, tem-se
e^{2z} + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{2z} = -1.

Passo 4

Sabendo que -1 = e^{i\pi(2k+1)} para todo k\in\mathbb{Z}, escrevemos
e^{2z} = e^{i\pi(2k+1)} \quad\Longrightarrow\quad 2z = i\pi(2k+1) \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{i\pi(2k+1)}{2}, \;k\in\mathbb{Z}.

Resposta

z = i\frac{\pi}{2} + i\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}.

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