Encontre todos os valores complexos z que satisfaçam a equação dada.
(a) \operatorname{cosh} z=i

Passo 1

O enunciado pede para resolver \operatorname{cosh} z = i no conjunto dos números complexos. Vamos usar a definição
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2},
transformando o problema em uma equação algébrica em w = e^{z}.

Passo 2

Substituindo w = e^{z} na equação \operatorname{cosh} z = i, obtemos
\frac{w + w^{-1}}{2} = i \quad\Longrightarrow\quad w + \frac{1}{w} = 2\,i \quad\Longrightarrow\quad w^2 - 2\,i\,w + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática em w:
w = \frac{2\,i \pm \sqrt{(2\,i)^2 - 4}}{2} = \frac{2\,i \pm \sqrt{-4 - 4}}{2} = \frac{2\,i \pm 2\,\sqrt{2}\,i}{2} = i\bigl(1 \pm \sqrt{2}\bigr).

Passo 4

Como w = e^{z}, temos
e^{z} = i\bigl(1 \pm \sqrt{2}\bigr).
Logo
z = \ln\bigl(i(1\pm\sqrt{2})\bigr) + 2\pi i k, \qquad k\in\mathbb{Z}.
Para cada sinal, escrevemos o módulo e o argumento:
  • \bigl|i(1+\sqrt{2})\bigr| = 1+\sqrt{2} e \arg[i(1+\sqrt{2})]=\pi/2.
  • \bigl|i(1-\sqrt{2})\bigr| = \sqrt{2}-1 e \arg[i(1-\sqrt{2})]=-\pi/2.
Portanto existem duas famílias de soluções:
z = \ln(1+\sqrt{2}) + i\Bigl(\tfrac\pi2 + 2\pi k\Bigr), \qquad z = \ln(\sqrt{2}-1) + i\Bigl(-\tfrac\pi2 + 2\pi k\Bigr).

Passo 5

Podemos unificar essas duas famílias numa única fórmula usando a = \ln(1+\sqrt{2}):
z = (-1)^{k}\,a \;+\; i\Bigl(\tfrac\pi2 + \pi k\Bigr), \qquad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\boxed{z = (-1)^{k}\,\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr) \;+\; i\Bigl(\tfrac\pi2 + \pi k\Bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.}

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