Encontre a Transformada de Fourier dos sinais:
\mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{-4 \mathrm{t}}[\mathrm{u}(\mathrm{t})-\mathrm{u}(\mathrm{t}-5)]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a Transformada de Fourier do sinal
x(t)=\mathrm{e}^{-4t}\bigl[\mathrm{u}(t)-\mathrm{u}(t-5)\bigr].
Informações dadas e o que é pedido:
  • O sinal é composto por um decaimento exponencial multiplicado por uma janela criada pelos degraus unitários \mathrm{u}(t) e \mathrm{u}(t-5).
  • A tarefa é calcular X(\omega), a Transformada de Fourier do sinal x(t).
  • Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (a fórmula básica):
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, \mathrm{e}^{-j\omega t}\, \mathrm{d}t.
Explicando o que cada coisa significa (para ficar bem claro):
  • t é a variável de tempo.
  • \omega é a frequência angular (rad/s).
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1).
  • x(t) é o sinal no tempo; X(\omega) é a sua representação em frequência.
    Vou usar essa integral direta porque temos um sinal no tempo limitado a um intervalo (isso facilita muito a conta).

Passo 3

Primeiro simplificamos x(t)\) usando a propriedade dos degraus: \[\mathrm{u}(t)-\mathrm{u}(t-5)= \begin{cases} 1, & 0\le t<5,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Portanto o sinal é simplesmente
x(t)= \begin{cases} \mathrm{e}^{-4t}, & 0\le t<5,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
Ou seja, x(t)\] é uma exponencial \(\mathrm{e}^{-4t} truncada no intervalo [0,5).]

Passo 4

Substituindo x(t) na definição da transformada e usando o fato de que o sinal é não-nulo apenas entre 0 e 5, obtemos
X(\omega)=\int_{0}^{5} \mathrm{e}^{-4t}\,\mathrm{e}^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{5} \mathrm{e}^{-(4 + j\omega)\,t}\,\mathrm{d}t.
Para simplificar a escrita, defina
a = 4 + j\omega.
Assim a integral fica \int_{0}^{5} \mathrm{e}^{-a t}\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Calcule a integral \int_{0}^{5} \mathrm{e}^{-a t}\,\mathrm{d}t. A primitiva de \mathrm{e}^{-a t} é -\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{-a t} (pois \dfrac{d}{dt}\bigl(-\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{-a t}\bigr)=\mathrm{e}^{-a t}).
Aplicando os limites de 0 a 5:
\int_{0}^{5} \mathrm{e}^{-a t}\,\mathrm{d}t = \left[-\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{-a t}\right]_{0}^{5} = -\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{-5a} -\left(-\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{0}\right).
Simplificando:
\int_{0}^{5} \mathrm{e}^{-a t}\,\mathrm{d}t = \dfrac{1 - \mathrm{e}^{-5a}}{a}.

Passo 6

Voltando à variável a=4+j\omega, substituímos:
X(\omega)=\dfrac{1 - \mathrm{e}^{-5(4 + j\omega)}}{4 + j\omega}.
Podemos expandir a exponencial do numerador em parte real e parte imaginária se quisermos uma forma mais explícita:
\mathrm{e}^{-5(4 + j\omega)} = \mathrm{e}^{-20}\,\mathrm{e}^{-j5\omega},
portanto outra forma útil é
X(\omega)=\dfrac{1 - \mathrm{e}^{-20}\,\mathrm{e}^{-j5\omega}}{4 + j\omega}.

Passo 7

Verificação rápida de existência e comentário didático:
  • A transformada existe porque para todo \omega temos \operatorname{Re}(a)=4>0, então a função integranda \mathrm{e}^{-(4+j\omega)t} é absolutamente integrável no intervalo [0,5] (na verdade é finita pois o intervalo é finito).
  • Observação prática: essa expressão aparece diretamente ao calcular a Transformada de Fourier de uma exponencial causal \mathrm{e}^{-4t}\mathrm{u}(t) (que teria \dfrac{1}{4+j\omega}) multiplicada por uma janela retangular de duração 5; a forma obtida é exatamente a consequência disso.

Resposta

X(\omega)=\dfrac{1 - \mathrm{e}^{-5(4 + j\omega)}}{4 + j\omega}=\dfrac{1 - \mathrm{e}^{-20}\,\mathrm{e}^{-j5\omega}}{4 + j\omega}.

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