Encontre a Transformada de Fourier dos sinais:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a Transformada de Fourier do sinal
Informações dadas e o que é pedido:
- O sinal é composto por um decaimento exponencial multiplicado por uma janela criada pelos degraus unitários
e . - A tarefa é calcular
, a Transformada de Fourier do sinal . - Não há imagens nem dados adicionais.
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (a fórmula básica):
Explicando o que cada coisa significa (para ficar bem claro):
-
é a variável de tempo. -
é a frequência angular (rad/s). -
é a unidade imaginária ( ). -
é o sinal no tempo; é a sua representação em frequência.
Vou usar essa integral direta porque temos um sinal no tempo limitado a um intervalo (isso facilita muito a conta).
Passo 3
Primeiro simplificamos
Portanto o sinal é simplesmente
Ou seja,
truncada no intervalo
.]
Passo 4
Substituindo
na definição da transformada e usando o fato de que o sinal é não-nulo apenas entre
e
, obtemos
Para simplificar a escrita, defina
Assim a integral fica
.
Passo 5
Calcule a integral
. A primitiva de
é
(pois
).
Aplicando os limites de a
:
Aplicando os limites de
Simplificando:
Passo 6
Voltando à variável
, substituímos:
Podemos expandir a exponencial do numerador em parte real e parte imaginária se quisermos uma forma mais explícita:
portanto outra forma útil é
Passo 7
Verificação rápida de existência e comentário didático:
- A transformada existe porque para todo
temos , então a função integranda é absolutamente integrável no intervalo (na verdade é finita pois o intervalo é finito). - Observação prática: essa expressão aparece diretamente ao calcular a Transformada de Fourier de uma exponencial causal
(que teria ) multiplicada por uma janela retangular de duração ; a forma obtida é exatamente a consequência disso.