Encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral:
L\left\{\int_{0}^{t} e^{-\tau} cos (\tau) d \tau\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
F(t)=\int_{0}^{t}e^{-\tau}\cos(\tau)\,d\tau.
O conteúdo envolvido é a propriedade da transformada de Laplace de uma integral (primitiva) e a fórmula da transformada de e^{at}\cos(bt).

Passo 2

Aplicamos a propriedade
\mathcal L\bigl\{\int_{0}^{t}f(\tau)\,d\tau\bigr\}=\frac{1}{s}\,\mathcal L\{f(t)\},
com f(t)=e^{-t}\cos(t). Assim,
\mathcal L\Bigl\{\int_{0}^{t}e^{-\tau}\cos(\tau)\,d\tau\Bigr\} =\frac{1}{s}\,\mathcal L\{e^{-t}\cos(t)\}.

Passo 3

Usamos a fórmula
\mathcal L\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2},
onde a=-1 e b=1. Então
\mathcal L\{e^{-t}\cos(t)\} =\frac{s-(-1)}{(s-(-1))^2+1^2} =\frac{s+1}{(s+1)^2+1}.
Substituindo na expressão do Passo 2, obtemos
\mathcal L\Bigl\{\int_{0}^{t}e^{-\tau}\cos(\tau)\,d\tau\Bigr\} =\frac{1}{s}\,\frac{s+1}{(s+1)^2+1} =\frac{s+1}{s\bigl((s+1)^2+1\bigr)}.

Resposta

\frac{s+1}{s\bigl((s+1)^2+1\bigr)}.

Exercícios relacionados