Encontre a transformada de Laplace inversa das funções
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há um fator exponencial
multiplicando a função em . - O denominador é
. - Não há outras condições explícitas (assumimos a transformada bilateral padrão e funções causais).
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula básica e muito útil: a transformada de Laplace da função
(com
inteiro não-negativo) é
Explicando essa fórmula de forma simples:
-
é a variável do tempo (tempo real, ). -
é um inteiro (aqui nos interessa ). -
é um número real (aqui ). -
é o fatorial de (por exemplo ).
Essa fórmula é deduzida a partir da definição da transformada de Laplace e do fato de que integrando por partes repetidas obtemos potências de. É uma fórmula padrão; memorize-a porque aparece direto em provas.
Passo 3
Aplique a fórmula com
e
. Pela fórmula temos
Portanto a transformada inversa de
é
Expliquei: como
, para obter
basta dividir por
, trazendo o fator
.
Passo 4
Agora trataremos do fator
na transformada dada. Existe um teorema muito prático chamado Teorema do Deslocamento no tempo (ou teorema do retardo):
onde
-
, -
é a função degrau unitário de Heaviside (vale para e para ), -
é o atraso no tempo.
Em palavras: multiplicar porna imagem corresponde a atrasar a função no tempo em unidades e multiplicar por um degrau que “liga” a função apenas a partir de .
Passo 5
No nosso problema o fator de atraso é
, então
. Já achamos que
Aplicando o teorema do deslocamento com
, obtemos
Aqui eu substituí
por
na função
e multipliquei por
para garantir que a função só existe (está “ligada”) a partir de
.
Passo 6
Vamos escrever de forma mais usual e simplificada: a resposta pode ser apresentada como
Interpretação prática para a prova:
- Para
o resultado é (por causa do ). - Para
o resultado é .
Dica: se na prova você reconhecer uma parte, pense imediatamente em (com ). Se aparecer um multiplicando, aplique o deslocamento temporal.