Encontre a transformada de Laplace inversa das funções
\frac{e^{-s}}{(s+1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
\frac{e^{-s}}{(s+1)^{3}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há um fator exponencial e^{-s} multiplicando a função em s.
  • O denominador é (s+1)^{3}.
  • Não há outras condições explícitas (assumimos a transformada bilateral padrão e funções causais).

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula básica e muito útil: a transformada de Laplace da função t^{n}e^{-at} (com n inteiro não-negativo) é
\mathcal{L}\{t^{n}e^{-at}\}(s)=\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}.
Explicando essa fórmula de forma simples:
  • t é a variável do tempo (tempo real, t\ge 0).
  • n é um inteiro \ge 0 (aqui nos interessa n=2).
  • a é um número real (aqui a=1).
  • n! é o fatorial de n (por exemplo 2! = 2).
    Essa fórmula é deduzida a partir da definição da transformada de Laplace e do fato de que integrando por partes repetidas obtemos potências de t. É uma fórmula padrão; memorize-a porque aparece direto em provas.

Passo 3

Aplique a fórmula com n=2 e a=1. Pela fórmula temos
\mathcal{L}\{t^{2}e^{-t}\}(s)=\frac{2!}{(s+1)^{3}}=\frac{2}{(s+1)^{3}}.
Portanto a transformada inversa de \dfrac{1}{(s+1)^{3}} é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{3}}\right\}=\frac{1}{2}\,t^{2}e^{-t}.
Expliquei: como \mathcal{L}\{t^{2}e^{-t}\}=2/(s+1)^3, para obter 1/(s+1)^3 basta dividir por 2, trazendo o fator 1/2.

Passo 4

Agora trataremos do fator e^{-s} na transformada dada. Existe um teorema muito prático chamado Teorema do Deslocamento no tempo (ou teorema do retardo):
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)\,f(t-a),
onde
  • F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\},
  • u(t-a) é a função degrau unitário de Heaviside (vale 0 para t<a e 1 para t\ge a),
  • a>0 é o atraso no tempo.
    Em palavras: multiplicar por e^{-as} na imagem corresponde a atrasar a função no tempo em a unidades e multiplicar por um degrau que “liga” a função apenas a partir de t=a.

Passo 5

No nosso problema o fator de atraso é e^{-s}, então a=1. Já achamos que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{3}}\right\}=\frac{1}{2}t^{2}e^{-t}.
Aplicando o teorema do deslocamento com a=1, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{-s}}{(s+1)^{3}}\right\}=u(t-1)\cdot \frac{1}{2}(t-1)^{2}e^{-(t-1)}.
Aqui eu substituí t por t-1 na função \frac{1}{2}t^{2}e^{-t} e multipliquei por u(t-1) para garantir que a função só existe (está “ligada”) a partir de t=1.

Passo 6

Vamos escrever de forma mais usual e simplificada: a resposta pode ser apresentada como
\frac{1}{2}\,(t-1)^{2}e^{-(t-1)}\,u(t-1).
Interpretação prática para a prova:
  • Para 0\le t<1 o resultado é 0 (por causa do u(t-1)).
  • Para t\ge 1 o resultado é \dfrac{1}{2}(t-1)^{2}e^{-(t-1)}.
    Dica: se na prova você reconhecer uma parte (s+a)^{-(n+1)}, pense imediatamente em t^{n} e^{-at} (com n!/(s+a)^{n+1}). Se aparecer um e^{-as} multiplicando, aplique o deslocamento temporal.

Resposta

\frac{1}{2}\,(t-1)^{2}e^{-(t-1)}\,u(t-1)