Encontre as três raízes cúbicas c_{k}(\mathrm{k}=0,1,2) de -8 i, expressando-as em coordenadas retangulares e justificando por que formam o triângulo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes cúbicas de -8\,i e mostrá-las em coordenadas retangulares, além de justificar por que esses pontos são vértices de um triângulo. Vamos usar representação polar de números complexos e a fórmula das raízes n-ésimas.

Passo 2

Escrevemos -8\,i em forma polar. A parte real é 0 e a imaginária é -8, logo o módulo é
r = |{-8\,i}| = 8
e o argumento principal pode ser tomado como
\theta = -\frac{\pi}{2}
porque -8\,i está no eixo imaginário negativo.

Passo 3

Para encontrar as raízes cúbicas usamos a fórmula
c_k = \sqrt[3]{r}\,\exp\!\Bigl(i\frac{\theta + 2\pi k}{3}\Bigr), \quad k=0,1,2.
Como \sqrt[3]{8}=2, temos
c_k = 2\,\exp\!\Bigl(i\frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\Bigr).

Passo 4

Calculamos cada valor de c_k:
Para k=0:
\frac{-\tfrac{\pi}{2} + 0}{3} = -\frac{\pi}{6},
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c_0 = 2\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\bigr) = 2\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\Bigr) = \sqrt{3} - i.
Para k=1:
\frac{-\tfrac{\pi}{2} + 2\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{\pi}{2},
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c_1 = 2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = 2\,i.
Para k=2:
\frac{-\tfrac{\pi}{2} + 4\pi}{3} = \frac{7\pi}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{7\pi}{6},
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c_2 = 2\bigl(\cos(\tfrac{7\pi}{6}) + i\sin(\tfrac{7\pi}{6})\bigr) = 2\Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\Bigr) = -\sqrt{3} - i.

Passo 5

Em coordenadas retangulares, os pontos são
c_0 = (\sqrt{3}, -1), \quad c_1 = (0, 2), \quad c_2 = (-\sqrt{3}, -1).
Calculamos a distância entre quaisquer dois:
|c_0 - c_1| = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 +(-1-2)^2} = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3},
|c_1 - c_2| = \sqrt{(0-(-\sqrt{3}))^2 +(2-(-1))^2} = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3},
|c_2 - c_0| = \sqrt{(\,-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2 +( -1-(-1))^2} = \sqrt{12 + 0} = 2\sqrt{3}.
Como todos os lados têm mesmo comprimento, os pontos são vértices de um triângulo equilátero.

Resposta

c_0 = \sqrt{3} - i
c_1 = 2\,i
c_2 = -\sqrt{3} - i

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