Encontre as três raízes cúbicas
de
, expressando-as em coordenadas retangulares e justificando por que formam o triângulo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as raízes cúbicas de
e mostrá-las em coordenadas retangulares, além de justificar por que esses pontos são vértices de um triângulo. Vamos usar representação polar de números complexos e a fórmula das raízes
-ésimas.
Passo 2
Escrevemos
em forma polar. A parte real é
e a imaginária é
, logo o módulo é
e o argumento principal pode ser tomado como
porque
está no eixo imaginário negativo.
Passo 3
Para encontrar as raízes cúbicas usamos a fórmula
Como
, temos
Passo 4
Calculamos cada valor de
:
Para :
Para
logo
Para
:
logo
Para
:
logo
Passo 5
Em coordenadas retangulares, os pontos são
Calculamos a distância entre quaisquer dois:
Como todos os lados têm mesmo comprimento, os pontos são vértices de um triângulo equilátero.