Encontre o valor de
3 + 12/5 + 48/25 + 192/125 + ...

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita que começa com 3 e segue com os termos , , , e assim por diante. Vamos usar conhecimentos de progressões geométricas para resolver isso.

Passo 2

Uma progressão geométrica é uma sequência de números onde cada termo depois do primeiro é encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão. Aqui, vamos identificar qual é essa razão.

Passo 3

Vamos ver como os termos estão se relacionando:
Percebemos que cada termo é multiplicado por . Então, a razão dessa progressão é .

Passo 4

Para somar uma progressão geométrica infinita, usamos a fórmula:
Onde:
  • é a soma da série.
  • é o primeiro termo.
  • é a razão.

Passo 5

Identificamos na nossa série:
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a divisão:

Resposta

A soma da série é 15.

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