1. Encontre o valor aproximado dos logaritmos abaixo com 3 casas decimais.
(e) \log _{2} 10

Passo 1

O enunciado pede o valor aproximado, com três casas decimais, de \log_{2}10.
Informações dadas:
  • Base do logaritmo: 2.
  • Argumento do logaritmo: 10.
  • Queremos o resultado arredondado com três casas decimais.

Passo 2

O que é um logaritmo?
Definição básica: \log_{a} b = c significa que a^{c}=b. Ou seja, \log_{2}10 é o número c tal que 2^{c}=10. Na prática, para calcular numericamente usamos fórmulas que trocam a base do logaritmo por uma base onde já conhecemos valores (por exemplo base e ou base 10).
Uma fórmula muito útil é a mudança de base. Vou derivá-la rapidinho e de forma clara:
Se \log_{a} b = c, então a^{c}=b. Tomando logaritmo natural (base e) dos dois lados obtém-se
\ln(a^{c}) = \ln b.
Pela propriedade \ln(a^{c}) = c\,\ln a, segue
c\,\ln a = \ln b \quad\Rightarrow\quad c = \frac{\ln b}{\ln a}.
Logo, a fórmula de mudança de base é
\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}.

Passo 3

Aplicando a mudança de base ao nosso caso:
\log_{2}10 = \frac{\ln 10}{\ln 2}.
Aqui \ln 10 e \ln 2 são constantes conhecidas. Valores usuais (de tabela ou calculadora de referência) são
\ln 10 \approx 2{,}302585093,\qquad \ln 2 \approx 0{,}693147181.
Dividindo:
\frac{2{,}302585093}{0{,}693147181}\approx 3{,}3219280949\ldots

Passo 4

Uma maneira alternativa, útil se quiseres fazer quase tudo à mão sem depender diretamente de \ln 10, é usar a fatoração 10 = 8\cdot 1{,}25 = 2^{3}\cdot 1{,}25. Então
\log_{2}10 = \log_{2}\bigl(2^{3}\cdot 1{,}25\bigr) = \log_{2}2^{3} + \log_{2}1{,}25 = 3 + \log_{2}1{,}25.
Para \log_{2}1{,}25 usa-se novamente mudança de base
\log_{2}1{,}25 = \frac{\ln 1{,}25}{\ln 2}.
A vantagem é que \ln 1{,}25=\ln(1+0{,}25) pode ser bem aproximada por série de Taylor alternada:
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots
com x=0{,}25. Calculando alguns termos:
\ln 1{,}25 \approx 0{,}25 - 0{,}25^{2}/2 + 0{,}25^{3}/3 - 0{,}25^{4}/4 \approx 0{,}25 - 0{,}03125 + 0{,}005208333 - 0{,}0009765625 \approx 0{,}22314355.
Esse valor coincide (até as casas mostradas) com o valor tabelado \ln 1{,}25\approx 0{,}2231435513. Dividindo por \ln 2\approx 0{,}693147181 obtém-se
\log_{2}1{,}25 \approx \frac{0{,}2231435513}{0{,}693147181}\approx 0{,}3219280949.
Somando o 3 do fator 2^{3}:
\log_{2}10 \approx 3 + 0{,}3219280949 = 3{,}3219280949\ldots

Passo 5

Arredondamento para três casas decimais: o valor aproximado \,3{,}3219280949\ldots tem, na quarta casa decimal, o dígito 9, então a terceira casa (que é 1) é aumentada em 1. Portanto o valor com três casas decimais é
3{,}322.

Resposta

\log_{2}10\approx 3{,}322