- Encontre o valor aproximado dos logaritmos abaixo com 3 casas decimais.
(e)
Passo 1
O enunciado pede o valor aproximado, com três casas decimais, de
.
Informações dadas:
- Base do logaritmo:
. - Argumento do logaritmo:
. - Queremos o resultado arredondado com três casas decimais.
Passo 2
O que é um logaritmo?
Definição básica: significa que
. Ou seja,
é o número
tal que
. Na prática, para calcular numericamente usamos fórmulas que trocam a base do logaritmo por uma base onde já conhecemos valores (por exemplo base
ou base
).
Definição básica:
Uma fórmula muito útil é a mudança de base. Vou derivá-la rapidinho e de forma clara:
Se , então
. Tomando logaritmo natural (base
) dos dois lados obtém-se
Se
Pela propriedade
, segue
Logo, a fórmula de mudança de base é
Passo 3
Aplicando a mudança de base ao nosso caso:
Aqui
e
são constantes conhecidas. Valores usuais (de tabela ou calculadora de referência) são
Dividindo:
Passo 4
Uma maneira alternativa, útil se quiseres fazer quase tudo à mão sem depender diretamente de
, é usar a fatoração
. Então
Para
usa-se novamente mudança de base
A vantagem é que
pode ser bem aproximada por série de Taylor alternada:
com
. Calculando alguns termos:
Esse valor coincide (até as casas mostradas) com o valor tabelado
. Dividindo por
obtém-se
Somando o
do fator
:
Passo 5
Arredondamento para três casas decimais: o valor aproximado
tem, na quarta casa decimal, o dígito
, então a terceira casa (que é
) é aumentada em 1. Portanto o valor com três casas decimais é