Encontre os valores máximos e mínimos globais de f no intervalo dado:
no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos globais da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar os pontos onde a função pode alcançar seus valores extremos. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos e avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Lembrando que para derivar uma fração, usamos a regra do quociente:
Calculando as derivadas das partes:
Substituindo na fórmula da derivada:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o numerador da derivada:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
:
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador igual a zero:
Isso nos dá uma solução
. As outras soluções viriam da equação
, mas essa equação não tem soluções reais, pois o discriminante é negativo. Então, o único ponto crítico real é
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo
:
- No ponto crítico
:
- Na extremidade
:
- Na extremidade
:
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu valor mínimo global em
com
e seus valores máximos globais nas extremidades
e
com
.