Encontre os valores máximos e mínimos globais de f no intervalo dado: f(x) = (x^4 - 4) / (x^2 + 1) no intervalo [-4,4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos globais da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar os pontos onde a função pode alcançar seus valores extremos. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos e avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Lembrando que para derivar uma fração, usamos a regra do quociente:
Calculando as derivadas das partes:
Substituindo na fórmula da derivada:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador da derivada:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver :
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador igual a zero:
Isso nos dá uma solução . As outras soluções viriam da equação , mas essa equação não tem soluções reais, pois o discriminante é negativo. Então, o único ponto crítico real é .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo :
  1. No ponto crítico :
  1. Na extremidade :
  1. Na extremidade :

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor mínimo global em com e seus valores máximos globais nas extremidades e com .

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