Encontre os valores de x onde f assume máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo “Método do Intervalo Fechado”.
f(x)=x^{4}-8 x^{2}+16 ;[-1,4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos de
f(x)=x^{4}-8x^{2}+16
no intervalo fechado [-1,4] usando o método do intervalo fechado. Isso envolve: (i) calcular a derivada de f, (ii) achar os pontos críticos em (-1,4), (iii) avaliar f nesses pontos e também em x=-1 e x=4, e (iv) comparar os valores para identificar mínimo e máximo absolutos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-8x^{2}+16\bigr) =4x^{3}-16x =4x\,(x^{2}-4) =4x\,(x-2)\,(x+2).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja,
4x\,(x-2)\,(x+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;x=2,\;x=-2.
Como o intervalo é [-1,4], só mantemos x=0 e x=2.

Passo 3

Agora avaliamos f em todos os candidatos: os pontos críticos internos e os extremos do intervalo.
f(-1)=(-1)^{4}-8(-1)^{2}+16 =1-8+16 =9.
f(0)=0^{4}-8\cdot0^{2}+16 =16.
f(2)=2^{4}-8\cdot2^{2}+16 =16-32+16 =0.
f(4)=4^{4}-8\cdot4^{2}+16 =256-128+16 =144.

Passo 4

Comparando os valores:
f(2)=0,\quad f(-1)=9,\quad f(0)=16,\quad f(4)=144.
O menor valor é 0 em x=2, e o maior valor é 144 em x=4.

Resposta

O mínimo absoluto de f em [-1,4] é f(2)=0.
O máximo absoluto de f em [-1,4] é f(4)=144.

Exercícios relacionados