Encontre os valores de t para quaia r(t) e r'(t) são ortogonais.
r(t) = (t, t, t^2 - 1)

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem o seguinte exercício:
Enunciado: Encontre os valores de para os quais e são ortogonais.
Matéria envolvida: Aqui estamos lidando com vetores no espaço tridimensional e com a derivada de vetores. Vamos precisar saber o que significa dois vetores serem ortogonais (ou seja, perpendiculares) e como calcular o produto escalar entre eles para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de , que é . A derivada de um vetor dá a taxa de variação do vetor em relação a .
Derivando cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, para verificar se e são ortogonais, precisamos calcular o produto escalar deles. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero.
O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Então, vamos calcular :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
Agora, para que e sejam ortogonais, precisamos que:
Então:

Passo 5

Resolvendo a equação :
A única solução real para essa equação é:

Resposta

O valor de para o qual e são ortogonais é .

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