Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
2 y^{2}=5 x

Passo 1

O enunciado dá a equação da parábola
2 y^{2}=5 x
e pede que eu encontre o vértice, o foco, a diretriz e que esboce o gráfico.
Informações dadas:
  • A equação explícita: \,2 y^{2}=5 x\,.
    O que eu preciso entregar:
  • O vértice da parábola;
  • O foco da parábola;
  • A diretriz da parábola;
  • Um esboço (descrição de como desenhar) do gráfico.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão conhecida para parábolas com eixo horizontal. Divido ambos os lados por 2:
y^{2}=\frac{5}{2}\,x.
A forma padrão mais usada para parábolas com eixo paralelo ao eixo x é
y^{2}=4 p x,
onde p é a distância do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para a direita). Vou explicar por que essa forma é útil e o que significam os símbolos:
  • Na forma \,y^{2}=4 p x, o vértice fica em (0,0) (quando não há translação);
  • O foco fica em (p,0);
  • A diretriz é a reta vertical x=-p;
  • O eixo da parábola é o eixo x (reta y=0).
Breve justificativa (intuição): a parábola é o lugar geométrico dos pontos (x,y) que estão à mesma distância do foco (p,0) e da diretriz x=-p. Escrevendo essa igualdade de distâncias e simplificando obtém-se exatamente \,y^{2}=4 p x.

Passo 3

Comparo a equação obtida com a forma padrão para identificar p. Tenho
y^{2}=\frac{5}{2}\,x \quad\text{e}\quad y^{2}=4 p x.
Logo
4 p=\frac{5}{2}.
Resolvo para p:
p=\frac{1}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{8}.

Passo 4

Agora uso o significado de p para obter vértice, foco e diretriz:
  • Vértice: como a equação está centralizada sem termos de translação, o vértice é (0,0).
  • Foco: situado em (p,0), ou seja \left(\dfrac{5}{8},0\right).
  • Diretriz: reta vertical x=-p, ou seja x=-\dfrac{5}{8}.
Vou também dar algumas informações úteis para o esboço (isso ajuda a desenhar direitinho na prova):
  • Comprimento da parábola no latus rectum (a corda que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo): é |4p|=\dfrac{5}{2}.
  • Coordenadas dos extremos do latus rectum: para a forma y^{2}=4 p x, em x=p tem y^{2}=4 p^2 então y=\pm 2p. Substituindo p=\dfrac{5}{8}:
y=\pm 2p=\pm \frac{10}{8}=\pm \frac{5}{4}.
Portanto os extremos são \left(\dfrac{5}{8},\pm \dfrac{5}{4}\right).
  • Intercepto com o eixo y: colocando x=0 obtém-se y=0, então o único ponto sobre o eixo y é o vértice (0,0).

Passo 5

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe um plano com eixos x e y.
  2. Marque o vértice em (0,0).
  3. Marque o foco em \left(\dfrac{5}{8},0\right) — um pouco à direita da origem (aprox. 0,625 no eixo x).
  4. Desenhe a diretriz como a reta vertical x=-\dfrac{5}{8} (um pouco à esquerda da origem).
  5. Marque os extremos do latus rectum em \left(\dfrac{5}{8},\pm \dfrac{5}{4}\right) (aprox. y=\pm 1,25).
  6. Trace uma curva simétrica em relação ao eixo x que passe pelo vértice, atravesse esses extremos do latus rectum e abra para a direita. A parábola é simétrica em relação ao eixo x e se afasta indefinidamente para a direita conforme |y| cresce.
Dica de pontos extras para firmar o desenho: escolha um x positivo, por exemplo x=2. Então
y^{2}=\frac{5}{2}\cdot 2=5\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{5}\approx\pm 2,236.
Isso dá dois pontos (2,\pm\sqrt{5}) que confirmam a abertura para a direita.

Passo 6

Resumo do método para aplicar rapidamente em provas semelhantes:
  • Colocar a equação na forma y^{2}=4 p x (ou sua variante com translação);
  • Ler p de 4 p;
  • Vértice em (0,0) (ou no ponto de translação se houver);
  • Foco em (p,0);
  • Diretriz x=-p;
  • Desenhar usando o vértice, foco, diretriz e os extremos do latus rectum.

Resposta

Vértice: (0,0)
Foco: \left(\dfrac{5}{8},0\right)
Diretriz: x=-\dfrac{5}{8}