Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a equação da parábola
e pede que eu encontre o vértice, o foco, a diretriz e que esboce o gráfico.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação explícita:
.
O que eu preciso entregar: - O vértice da parábola;
- O foco da parábola;
- A diretriz da parábola;
- Um esboço (descrição de como desenhar) do gráfico.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão conhecida para parábolas com eixo horizontal. Divido ambos os lados por
:
A forma padrão mais usada para parábolas com eixo paralelo ao eixo
é
onde
é a distância do vértice ao foco (positiva se a parábola abre para a direita). Vou explicar por que essa forma é útil e o que significam os símbolos:
- Na forma
, o vértice fica em (quando não há translação); - O foco fica em
; - A diretriz é a reta vertical
; - O eixo da parábola é o eixo
(reta ).
Breve justificativa (intuição): a parábola é o lugar geométrico dos pontos
que estão à mesma distância do foco
e da diretriz
. Escrevendo essa igualdade de distâncias e simplificando obtém-se exatamente
.
Passo 3
Comparo a equação obtida com a forma padrão para identificar
. Tenho
Logo
Resolvo para
:
Passo 4
Agora uso o significado de
para obter vértice, foco e diretriz:
- Vértice: como a equação está centralizada sem termos de translação, o vértice é
. - Foco: situado em
, ou seja . - Diretriz: reta vertical
, ou seja .
Vou também dar algumas informações úteis para o esboço (isso ajuda a desenhar direitinho na prova):
- Comprimento da parábola no latus rectum (a corda que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo): é
. - Coordenadas dos extremos do latus rectum: para a forma
, em tem então . Substituindo :
Portanto os extremos são
.
- Intercepto com o eixo
: colocando obtém-se , então o único ponto sobre o eixo é o vértice .
Passo 5
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe um plano com eixos
e . - Marque o vértice em
. - Marque o foco em
— um pouco à direita da origem (aprox. no eixo ). - Desenhe a diretriz como a reta vertical
(um pouco à esquerda da origem). - Marque os extremos do latus rectum em
(aprox. ). - Trace uma curva simétrica em relação ao eixo
que passe pelo vértice, atravesse esses extremos do latus rectum e abra para a direita. A parábola é simétrica em relação ao eixo e se afasta indefinidamente para a direita conforme cresce.
Dica de pontos extras para firmar o desenho: escolha um
positivo, por exemplo
. Então
Isso dá dois pontos
que confirmam a abertura para a direita.
Passo 6
Resumo do método para aplicar rapidamente em provas semelhantes:
- Colocar a equação na forma
(ou sua variante com translação); - Ler
de ; - Vértice em
(ou no ponto de translação se houver); - Foco em
; - Diretriz
; - Desenhar usando o vértice, foco, diretriz e os extremos do latus rectum.
Resposta
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Foco:
Diretriz: