Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 - x^2 e pelo plano y = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o volume de um sólido no primeiro octante que é limitado pelo cilindro e pelo plano . Vou te mostrar passo a passo como fazer isso usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “primeiro octante”. O primeiro octante é a parte do espaço onde as três coordenadas , e são positivas ou iguais a zero. Então, vamos considerar apenas , e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o cilindro . Esse é um paraboloide que se abre para baixo. Ele intercepta o eixo quando , ou seja, no ponto . A interseção com o plano ocorre quando , ou seja, . Portanto, varia de 0 a 3.

Passo 4

O plano limita o valor de . Como estamos no primeiro octante, vai de 0 a 4.

Passo 5

Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla. Os limites das integrais serão:
  • de 0 a 3
  • de 0 a 4
  • de 0 a
Então, o volume é dado por:

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos distribuir o 4 dentro do parêntese:

Passo 9

Agora, vamos calcular as integrais separadamente:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelo plano é 72 unidades cúbicas.

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