Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o volume de um sólido no primeiro octante que é limitado pelo cilindro e pelo plano . Vou te mostrar passo a passo como fazer isso usando cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “primeiro octante”. O primeiro octante é a parte do espaço onde as três coordenadas , e são positivas ou iguais a zero. Então, vamos considerar apenas , e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar o cilindro . Esse é um paraboloide que se abre para baixo. Ele intercepta o eixo quando , ou seja, no ponto . A interseção com o plano ocorre quando , ou seja, . Portanto, varia de 0 a 3.
Passo 4
O plano limita o valor de . Como estamos no primeiro octante, vai de 0 a 4.
Passo 5
Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla. Os limites das integrais serão:
de 0 a 3
de 0 a 4
de 0 a
Então, o volume é dado por:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos distribuir o 4 dentro do parêntese:
Passo 9
Agora, vamos calcular as integrais separadamente:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelo plano é 72 unidades cúbicas.