Encontre y^{\prime} usando a derivação implícita.
\operatorname{sen}\left(x^{2} y^{2}\right)=x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar y' sabendo que
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)=x.
O conteúdo é derivação implícita, e vamos precisar da regra da cadeia (para \operatorname{sen}) e da regra do produto (para x^{2}y^{2}).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)=1.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de x^{2}y^{2} usando produto e regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) =2x\,y^{2}+x^{2}\cdot2y\,y' =2x\,y^{2}+2x^{2}y\,y'.
Substituindo na equação, fica
\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)\,\bigl(2x\,y^{2}+2x^{2}y\,y'\bigr)=1.

Passo 4

Distribuindo \cos(x^{2}y^{2}) e isolando o termo com y':
2x\,y^{2}\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) +2x^{2}y\,y'\,\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)=1
2x^{2}y\,y'\,\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) =1-2x\,y^{2}\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr).

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 2x^{2}y\,\cos(x^{2}y^{2}), obtemos
y'=\frac{1-2x\,y^{2}\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)}{2x^{2}y\,\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)}.

Resposta

y'=\frac{1-2x\,y^{2}\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)}{2x^{2}y\,\cos\bigl(x^{2}y^{2}\bigr)}.

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