(ENEM 2019) Para demonstrar o processo de transformação de energia mecânica em elétrica, um estudante constrói um pequeno gerador utilizando:
  • um fio de cobre de diâmetro D enrolado em N espiras circulares de área A;
  • dois ímãs que criam no espaço entre eles um campo magnético uniforme de intensidade B ; e
  • um sistema de engrenagens que lhe permite girar as espiras em torno de um eixo com uma frequência f.
    Ao fazer o gerador funcionar, o estudante obteve uma tensão máxima V e uma corrente de curto-circuito i.
    Para dobrar o valor da tensão máxima \mathbf{V} do gerador mantendo constante o valor da corrente de curto i, o estudante deve dobrar o(a)
    A. número de espiras.
    B. frequência de giro.
    C. intensidade do campo magnético.
    D. área das espiras.
    E. diâmetro do fio.

Passo 1

O enunciado dá um gerador com:
  • um fio de cobre de diâmetro D enrolado em N espiras circulares de área A;
  • dois ímãs que criam um campo magnético uniforme de intensidade B entre eles;
  • um sistema que gira as espiras com frequência f.
Ao operar o gerador o estudante obteve uma tensão máxima V e uma corrente de curto-circuito i.
A pergunta do enunciado é: Para dobrar o valor da tensão máxima V mantendo constante o valor da corrente de curto i, qual das quantidades listadas deve ser dobrada? (Opções: N, f, B, A ou D.)

Passo 2

Vamos entender como a tensão máxima V gerada depende dos parâmetros. A lei de Faraday diz que a fem induzida em um circuito com N espiras é
\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético por uma espira. Se a espira gira uniformemente com velocidade angular \omega em um campo uniforme B, o fluxo é \Phi(t)=B A \cos(\omega t). Diferenciando:
\mathcal{E}(t)= -N \frac{d}{dt}\bigl(B A \cos(\omega t)\bigr) = N B A \omega \sin(\omega t).
A amplitude (tensão máxima) é, portanto,
V \equiv V_{\max} = N B A \omega.
Como \omega = 2\pi f, podemos também escrever
V = N B A (2\pi f).
Resumo didático: a tensão máxima é proporcional a N, a B, à área A e à frequência f.

Passo 3

Agora vamos achar como a resistência interna R da bobina depende dos parâmetros, porque a corrente de curto-circuito é limitada por essa resistência. A resistência do fio é
R = \rho \frac{L}{a},
onde \rho é a resistividade do cobre, L é o comprimento total do fio e a é a área da secção transversal do fio.
  • A área da secção do fio (diâmetro D) é
a = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}.
  • O comprimento total do fio é o número de espiras vezes o comprimento de cada espira. Uma espira circular de área A tem raio r tal que A=\pi r^2, logo r=\sqrt{A/\pi}. O comprimento (circunferência) de uma espira é 2\pi r. Assim
L = N \cdot 2\pi r = N \cdot 2\pi \sqrt{\frac{A}{\pi}} = N \cdot 2\sqrt{\pi A}.
Substituindo em R,
R = \rho \frac{N \cdot 2\sqrt{\pi A}}{\pi D^2/4} = \rho \cdot \frac{N \cdot 2\sqrt{\pi A}\cdot 4}{\pi D^2}.
O importante aqui, para comparação de efeitos, é a dependência de escala. Simplificando a dependência:
R \propto \frac{N \sqrt{A}}{D^2}.
Explicando em palavras: aumentar N aumenta R (mais fio), aumentar A aumenta R como \sqrt{A} (espiras maiores dão comprimento maior), e aumentar D diminui R como 1/D^2 (fio mais grosso tem menos resistência).

Passo 4

Agora relacionamos a tensão máxima V, a resistência interna R e a corrente de curto-circuito i. Se o gerador é curto-circuitado externamente (resistência externa zero), a corrente máxima é limitada pela resistência interna:
i = \frac{V}{R}.
Para ver como i depende dos parâmetros, substituímos as dependências obtidas:
V \propto N B A f \quad\text{e}\quad R \propto \frac{N \sqrt{A}}{D^2}.
Logo, a corrente de curto é
i \propto \frac{N B A f}{\,N \sqrt{A}/D^2\,} = B f D^2 \sqrt{A}.
Observação importante: o fator N cancela nessa razão! Isso significa que, em primeira aproximação, mudar N altera V e R na mesma proporção, deixando i praticamente inalterado.

Passo 5

Vamos testar cada alternativa observando como ela afeta V e i.
A. Dobrar o número de espiras N.
  • V \propto N V dobra.
  • R \propto N R dobra.
  • i = V/R → razão V/R permanece praticamente a mesma, logo i permanece constante.
    Portanto dobrar N dobra V e mantém i (o que é o que queremos).
B. Dobrar a frequência f.
  • V \propto f V dobra.
  • R não depende de f R fica igual.
  • i = V/R i dobra (não desejado).
C. Dobrar a intensidade do campo B.
  • V \propto B V dobra.
  • R não depende de B R fica igual.
  • i dobra (não desejado).
D. Dobrar a área das espiras A.
  • V \propto A V dobra.
  • R \propto \sqrt{A} R aumenta por fator \sqrt{2}.
  • i = V/R cresce por fator 2/\sqrt{2}=\sqrt{2} (não constante).
E. Dobrar o diâmetro do fio D.
  • V independe de D V não muda.
  • R \propto 1/D^2 R cai por fator 4.
  • i = V/R aumenta por fator 4 (não constante e além disso V nem dobrou).
Entre as alternativas, só a opção A faz V dobrar mantendo i constante.

Resposta

A

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