O 1 (3,0 pontos) Hidrelétricas utilizam a energia mecânica proveniente do escoamento de água de rios para converter em energia elétrica. Considerando que água escoa de um rio à uma velocidade média de 18 \mathrm{~km} / \mathrm{h} com 800.000 \mathrm{l} / \mathrm{s} de vazão até um lago à 110 m abaixo do rio, determine:
Considere a densidade da água de 1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a aceleração da gravidade de 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) ( 1,5 pontos) A potência máxima que pode ser gerado no rio.
b) ( 1,5 pontos) A potência elétrica máxima que pode ser gerada no rio, considerando a eficiência de conversão da hidrelétrica de 80 \%.

Passo 1

O enunciado dá: vazão de água Q, velocidade média v, desnível h, densidade \rho e gravidade g. Queremos a potência hidráulica máxima disponível no rio (soma da energia potencial gravitacional e da energia cinética do escoamento) e, em seguida, a potência elétrica considerando eficiência \eta=80\%. Usaremos
P_g = \rho\,g\,Q\,h
P_k = \tfrac12\,\rho\,Q\,v^2
e depois
P_{\text{hidráulica}} = P_g + P_k,\quad P_{\text{elétrica}} = \eta\,P_{\text{hidráulica}}.áéá

Passo 2

Convertendo unidades:
  • Vazão: Q = 800\,000\\ \mathrm{l/s} = 800\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Velocidade: v = 18\\ \mathrm{km/h} = 18\times\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a potência potencial gravitacional:
P_g = \rho\,g\,Q\,h = 1000\;\mathrm{kg/m^3}\times9,81\;\mathrm{m/s^2}\times800\;\mathrm{m^3/s}\times110\;\mathrm{m} =8{,}6328\times10^8\;\mathrm{W}.

Passo 4

Calcular a potência cinética do escoamento:
P_k = \tfrac12\,\rho\,Q\,v^2 = \tfrac12\times1000\;\mathrm{kg/m^3}\times800\;\mathrm{m^3/s}\times(5\;\mathrm{m/s})^2 =1{,}0\times10^7\;\mathrm{W}.

Passo 5

Somando as duas contribuições, a potência hidráulica máxima é
P_{\text{hidráulica}} = P_g + P_k =8{,}6328\times10^8 + 1{,}0\times10^7 =8{,}7328\times10^8\;\mathrm{W} \approx8{,}73\times10^8\;\mathrm{W}\;(\text{873 MW}).á

Passo 6

Aplicando a eficiência de 80\% para obter a potência elétrica máxima:
P_{\text{elétrica}} = \eta\,P_{\text{hidráulica}} =0{,}80\times8{,}7328\times10^8\;\mathrm{W} =6{,}98624\times10^8\;\mathrm{W} \approx6{,}99\times10^8\;\mathrm{W}\;(\text{699 MW}).éá

Resposta

a) 8{,}73\times10^8\\ \mathrm{W} (aprox. 873 MW)
b) 6{,}99\times10^8\\ \mathrm{W} (aprox. 699 MW)

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