Um engenheiro de comunicações precisa dimensionar a potência média de um sinal analítico usado em modulação de portadora, dado por:
x(t)=A \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right), \omega_{0}=\frac{2 \pi}{\mathrm{~T}_{0}}
onde A>0, \omega_{0} é a frequência angular fundamental e \varphi é uma fase arbitrária. A potência média é fundamental para especificar o ganho de amplificadores e o alcance do sistema de transmissão.
Sobre a potência média desse sinal e a influencia da fase \varphi, assinale a alternativa correta.
(x) A potência média é P=\frac{A^{2}}{2} e independe da fase \varphi.
D - potência média é P=\frac{A^{2}}{2} \cos ^{2} \varphi. portanto depende de \varphi.
(C) A potencia média é P=A^{2} \mathrm{e} independe da fase \varphi.
(D) A potência média depende de \varphi apenas se \varphi \neq 0.
(E) A potência média é nula, pois o valor médio de um cosseno é zero.

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=A \cos\left(\omega_{0} t+\varphi\right),\qquad \omega_{0}=\frac{2\pi}{T_{0}},
com A>0 e \varphi fase arbitrária. Pede-se a potência média desse sinal e se essa potência depende da fase \varphi. As opções oferecidas incluem a afirmação de que a potência média é P=\frac{A^{2}}{2} e independe de \varphi (essa está marcada com (x) no enunciado). Vamos confirmar isso passo a passo.

Passo 2

Definimos a potência média de um sinal periódico como a média temporal do quadrado do sinal tomada sobre um período. Ou seja,
P=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x^{2}(t)\,dt,
onde T é um período do sinal e t_{0} é qualquer instante inicial. Aqui o significado de cada símbolo:
  • P é a potência média que queremos calcular;
  • T é o período (neste caso escolhemos T=T_{0});
  • x(t) é o sinal no tempo;
  • a integral calcula a energia sobre um período e o fator 1/T faz a média temporal.

Passo 3

Substituímos x(t) na expressão do quadrado:
x^{2}(t)=A^{2}\cos^{2}\!\left(\omega_{0}t+\varphi\right).
Então a potência média sobre um período T_{0} é
P=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} A^{2}\cos^{2}\!\left(\omega_{0}t+\varphi\right)\,dt.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica que relaciona \cos^{2} com cosseno de ângulo duplo:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Essa identidade vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1; isolando \cos^{2}\theta obtemos a identidade acima. Aplicando com \theta=\omega_{0}t+\varphi temos
\cos^{2}\!\left(\omega_{0}t+\varphi\right)=\frac{1+\cos\!\left(2\omega_{0}t+2\varphi\right)}{2}.

Passo 5

Substituindo essa identidade na integral da potência:
P=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} A^{2}\,\frac{1+\cos\!\left(2\omega_{0}t+2\varphi\right)}{2}\,dt.
Separe a integral em duas partes:
P=\frac{A^{2}}{2}\cdot\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} 1\,dt \;+\; \frac{A^{2}}{2}\cdot\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} \cos\!\left(2\omega_{0}t+2\varphi\right)\,dt.

Passo 6

Calcule cada parte:
  • A primeira integral é simples:
\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}1\,dt = \frac{1}{T_{0}}\cdot T_{0}=1,
portanto a contribuição dessa parte é \frac{A^{2}}{2}.
  • A segunda integral é a média de um cosseno cuja frequência angular é 2\omega_{0}. Podemos calcular explicitamente:
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} \cos\!\left(2\omega_{0}t+2\varphi\right)\,dt = \left.\frac{1}{2\omega_{0}}\sin\!\left(2\omega_{0}t+2\varphi\right)\right|_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}.
Como 2\omega_{0}T_{0}=2\cdot\frac{2\pi}{T_{0}}\cdot T_{0}=4\pi, temos
\sin\!\left(2\omega_{0}(t_{0}+T_{0})+2\varphi\right)=\sin\!\left(2\omega_{0}t_{0}+4\pi+2\varphi\right)=\sin\!\left(2\omega_{0}t_{0}+2\varphi\right),
portanto a diferença é zero e a integral da segunda parte vale zero. Intuitivamente, o cosseno com frequência 2\omega_{0} completa um número inteiro de períodos em T_{0}, então sua média sobre T_{0} é zero. Observe que esse resultado independe de \varphi.

Passo 7

Juntando as contribuições, a potência média é apenas a primeira parte:
P=\frac{A^{2}}{2}.
Isso mostra explicitamente que P não depende de \varphi. Nota pedagógica: o valor instantâneo x(t) e mesmo x^{2}(t) em instantes específicos dependem de \varphi, mas a média temporal do quadrado ao longo de um período elimina essa dependência de fase.

Passo 8

Conclusão prática e verificação das demais alternativas do enunciado:
  • A alternativa P=\frac{A^{2}}{2} e independe de \varphi está correta.
  • A alternativa que coloca P=\frac{A^{2}}{2}\cos^{2}\varphi está errada porque confunde média temporal com avaliação em um instante fixo; ao fazer a média o termo de cosseno com a fase some.
  • As outras alternativas ( P=A^{2}e, dependência apenas se \varphi\neq0, potência nula) estão incorretas por argumentos semelhantes: tipo de média usada e propriedade da média do cosseno.

Resposta

A potência média é P=\dfrac{A^{2}}{2} e independe da fase \varphi.

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