onde A>0, \omega_{0} é a frequência angular fundamental e \varphi é uma fase arbitrária. A potência média é fundamental para especificar o ganho de amplificadores e o alcance do sistema de transmissão.
Sobre a potência média desse sinal e a influencia da fase \varphi, assinale a alternativa correta.
(x) A potência média é P=\frac{A^{2}}{2} e independe da fase \varphi.
D - potência média é P=\frac{A^{2}}{2} \cos ^{2} \varphi. portanto depende de \varphi.
(C) A potencia média é P=A^{2} \mathrm{e} independe da fase \varphi.
(D) A potência média depende de \varphi apenas se \varphi \neq 0.
(E) A potência média é nula, pois o valor médio de um cosseno é zero.
com A>0 e \varphi fase arbitrária. Pede-se a potência média desse sinal e se essa potência depende da fase \varphi. As opções oferecidas incluem a afirmação de que a potência média é P=\frac{A^{2}}{2} e independe de \varphi (essa está marcada com (x) no enunciado). Vamos confirmar isso passo a passo.
Passo 2
Definimos a potência média de um sinal periódico como a média temporal do quadrado do sinal tomada sobre um período. Ou seja,
P=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x^{2}(t)\,dt,
onde T é um período do sinal e t_{0} é qualquer instante inicial. Aqui o significado de cada símbolo:
P é a potência média que queremos calcular;
T é o período (neste caso escolhemos T=T_{0});
x(t) é o sinal no tempo;
a integral calcula a energia sobre um período e o fator 1/T faz a média temporal.
Usamos a identidade trigonométrica que relaciona \cos^{2} com cosseno de ângulo duplo:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Essa identidade vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1; isolando \cos^{2}\theta obtemos a identidade acima. Aplicando com \theta=\omega_{0}t+\varphi temos
portanto a diferença é zero e a integral da segunda parte vale zero. Intuitivamente, o cosseno com frequência 2\omega_{0} completa um número inteiro de períodos em T_{0}, então sua média sobre T_{0} é zero. Observe que esse resultado independe de \varphi.
Passo 7
Juntando as contribuições, a potência média é apenas a primeira parte:
P=\frac{A^{2}}{2}.
Isso mostra explicitamente que P não depende de \varphi. Nota pedagógica: o valor instantâneo x(t) e mesmo x^{2}(t) em instantes específicos dependem de \varphi, mas a média temporal do quadrado ao longo de um período elimina essa dependência de fase.
Passo 8
Conclusão prática e verificação das demais alternativas do enunciado:
A alternativa P=\frac{A^{2}}{2} e independe de \varphi está correta.
A alternativa que coloca P=\frac{A^{2}}{2}\cos^{2}\varphi está errada porque confunde média temporal com avaliação em um instante fixo; ao fazer a média o termo de cosseno com a fase some.
As outras alternativas (P=A^{2}e, dependência apenas se \varphi\neq0, potência nula) estão incorretas por argumentos semelhantes: tipo de média usada e propriedade da média do cosseno.
Resposta
A potência média é P=\dfrac{A^{2}}{2} e independe da fase \varphi.