Em análise de sinais e sistemas, a energia de um sinal contínuo x(t) é definida por
E_{x}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2} d t
Considere um sinal y(t) de energia finita 0<E_{y}<\infty. A partir dele, definem-se:
y_{1}(t)=y(-2 t+4) \text { е } y_{2}(t)=-2 y(t)+4
Sobre as energias de y_{1} \mathrm{e} y_{2}, assinale a alternativa correta.
X E_{y_{1}}=2 E_{y} в E_{y_{2}}=4 E_{y}.
(B) E_{y_{1}}=E_{y} e E_{y_{2}} é finita, mas maior que E_{y}.
(14) E_{y_{1}}=\frac{E_{y}}{2} e E_{y_{2}}=\infty.
(D) E_{y_{1}}=\frac{E_{y}}{4} e E_{y_{2}}=4 E_{y}.
(E) Ambas as energias são infinitas.
Passo 1
O enunciado dá um sinal y(t) com energia finita 0<E_{y}<\infty e define dois sinais derivados:
y_{1}(t)=y(-2t+4)
y_{2}(t)=-2\,y(t)+4
As perguntas são: qual é a energia de y_{1} (denotada E_{y_{1}}) e qual é a energia de y_{2} (denotada E_{y_{2}})?
Passo 2
Recordando a definição de energia: para qualquer sinal x(t),
E_x=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}\,dt.
Se tivermos um escalamento de amplitude por uma constante a, isto é, x_a(t)=a\,x(t), então substituímos na definição:
Explicando devagar: multiplicar o sinal por a multiplica o módulo por |a|, ao quadrado dá |a|^{2}, e esse fator sai da integral.
Passo 3
Outra propriedade importante: deslocamento no tempo (time-shift) não altera a energia. Se x_{s}(t)=x(t-t_{0}), então fazendo a mudança de variável \tau=t-t_{0} obtemos
Ou seja, deslocar o sinal para a direita ou esquerda não muda a energia — só “move” a função no eixo t.
Passo 4
Propriedade de escala no tempo (time-scaling): se x_{a}(t)=x(a t) com constante real a\neq 0, então fazemos a mudança de variável \tau=a t, daí dt=d\tau/a e os limites continuam -\infty a +\infty. Assim
Observação: o valor absoluto aparece porque dt=d\tau/a e queremos a medida positiva; o sinal de a apenas inverte a orientação da integração, o que não altera o valor final.
Passo 5
Agora aplicamos essas propriedades a y_{1}(t)=y(-2t+4).
Podemos ver y_{1}(t) como uma composição de um escalamento no tempo por a=-2 e um deslocamento por +4.
Pelo Passo 3, o deslocamento não muda a energia.
Pelo Passo 4, o escalamento por a=-2 multiplica a energia por 1/|a|=1/2.
Façamos a derivação direta para ficar claro: partimos de
faça a mudança de variável \tau=-2t+4. Então d\tau=-2\,dt ou dt=\frac{d\tau}{-2}. Os limites -\infty e +\infty trocam de ordem, mas o valor absoluto da jacobiana é 1/2. Assim
Explicando: |-2y(t)+4|^{2} é não-negativa para todo t. Podemos expandir usando |a+b|^{2}=|a|^{2}+2\Re(a b^{*})+|b|^{2} (para sinais complexos; para reais é o mesmo sem \Re):
Ou seja, o termo cruzado é no máximo da ordem O(\sqrt{T}) quando T cresce, enquanto o termo 32T é O(T). Portanto o termo constante domina e a integral total cresce sem limite quando T\to\infty. Como o integrando é não-negativo e seu integral sobre intervalos simétricos tende a +\infty, concluímos que