Em análise de sinais e sistemas, a energia de um sinal contínuo x(t) é definida por
E_{x}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2} d t
Considere um sinal y(t) de energia finita 0<E_{y}<\infty. A partir dele, definem-se:
y_{1}(t)=y(-2 t+4) \text { е } y_{2}(t)=-2 y(t)+4е
Sobre as energias de y_{1} \mathrm{e} y_{2}, assinale a alternativa correta.
X E_{y_{1}}=2 E_{y} в E_{y_{2}}=4 E_{y}.
(B) E_{y_{1}}=E_{y} e E_{y_{2}} é finita, mas maior que E_{y}.
(14) E_{y_{1}}=\frac{E_{y}}{2} e E_{y_{2}}=\infty.
(D) E_{y_{1}}=\frac{E_{y}}{4} e E_{y_{2}}=4 E_{y}.
(E) Ambas as energias são infinitas.

Passo 1

O enunciado dá um sinal y(t) com energia finita 0<E_{y}<\infty e define dois sinais derivados:
y_{1}(t)=y(-2t+4)
y_{2}(t)=-2\,y(t)+4
As perguntas são: qual é a energia de y_{1} (denotada E_{y_{1}}) e qual é a energia de y_{2} (denotada E_{y_{2}})?

Passo 2

Recordando a definição de energia: para qualquer sinal x(t),
E_x=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}\,dt.
Se tivermos um escalamento de amplitude por uma constante a, isto é, x_a(t)=a\,x(t), então substituímos na definição:
E_{x_a}=\int_{-\infty}^{\infty}|a\,x(t)|^{2}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}|a|^{2}|x(t)|^{2}\,dt=|a|^{2}E_x.
Explicando devagar: multiplicar o sinal por a multiplica o módulo por |a|, ao quadrado dá |a|^{2}, e esse fator sai da integral.

Passo 3

Outra propriedade importante: deslocamento no tempo (time-shift) não altera a energia. Se x_{s}(t)=x(t-t_{0}), então fazendo a mudança de variável \tau=t-t_{0} obtemos
E_{x_s}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t-t_{0})|^{2}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}|x(\tau)|^{2}\,d\tau=E_x.
Ou seja, deslocar o sinal para a direita ou esquerda não muda a energia — só “move” a função no eixo t.

Passo 4

Propriedade de escala no tempo (time-scaling): se x_{a}(t)=x(a t) com constante real a\neq 0, então fazemos a mudança de variável \tau=a t, daí dt=d\tau/a e os limites continuam -\infty a +\infty. Assim
E_{x_a}=\int_{-\infty}^{\infty}|x(a t)|^{2}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}|x(\tau)|^{2}\,\frac{d\tau}{|a|}=\frac{1}{|a|}E_x.
Observação: o valor absoluto aparece porque dt=d\tau/a e queremos a medida positiva; o sinal de a apenas inverte a orientação da integração, o que não altera o valor final.

Passo 5

Agora aplicamos essas propriedades a y_{1}(t)=y(-2t+4).
  • Podemos ver y_{1}(t) como uma composição de um escalamento no tempo por a=-2 e um deslocamento por +4.
  • Pelo Passo 3, o deslocamento não muda a energia.
  • Pelo Passo 4, o escalamento por a=-2 multiplica a energia por 1/|a|=1/2.
Façamos a derivação direta para ficar claro: partimos de
E_{y_{1}}=\int_{-\infty}^{\infty}\big|y(-2t+4)\big|^{2}\,dt.
faça a mudança de variável \tau=-2t+4. Então d\tau=-2\,dt ou dt=\frac{d\tau}{-2}. Os limites -\infty e +\infty trocam de ordem, mas o valor absoluto da jacobiana é 1/2. Assim
E_{y_{1}}=\int_{+\infty}^{-\infty}|y(\tau)|^{2}\,\frac{d\tau}{-2}=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|y(\tau)|^{2}\,d\tau=\frac{E_{y}}{2}.

Passo 6

Agora y_{2}(t)=-2\,y(t)+4. Queremos
E_{y_{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}\big|-2\,y(t)+4\big|^{2}\,dt.
Explicando: |-2y(t)+4|^{2} é não-negativa para todo t. Podemos expandir usando |a+b|^{2}=|a|^{2}+2\Re(a b^{*})+|b|^{2} (para sinais complexos; para reais é o mesmo sem \Re):
\big|-2y(t)+4\big|^{2}=4|y(t)|^{2}-16\Re\{y(t)\}+16.
Integrando em [-T,T] e depois fazendo T\to\infty, obtemos
\int_{-T}^{T}\big|-2y(t)+4\big|^{2}\,dt=4\int_{-T}^{T}|y(t)|^{2}\,dt-16\Re\int_{-T}^{T}y(t)\,dt+16\int_{-T}^{T}dt.
O primeiro termo tende para 4E_{y} quando T\to\infty (é finito). O terceiro termo é
16\int_{-T}^{T}dt=16\cdot(2T)=32T,
que cresce linearmente com T e, portanto, tende a +\infty quando T\to\infty.
Precisamos checar se o segundo termo (o termo cruzado) poderia anular esse crescimento. Pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz,
\left|\int_{-T}^{T}y(t)\,dt\right|\le \sqrt{2T}\,\sqrt{\int_{-T}^{T}|y(t)|^{2}\,dt}\le \sqrt{2T}\,\sqrt{E_{y}}.
Ou seja, o termo cruzado é no máximo da ordem O(\sqrt{T}) quando T cresce, enquanto o termo 32T é O(T). Portanto o termo constante domina e a integral total cresce sem limite quando T\to\infty. Como o integrando é não-negativo e seu integral sobre intervalos simétricos tende a +\infty, concluímos que
E_{y_{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}\big|-2y(t)+4\big|^{2}\,dt=+\infty.

Resposta

E_{y_{1}}=\dfrac{E_{y}}{2}
E_{y_{2}}=\infty

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