Um engenheiro está estudando a resistência à tração de uma liga de aço. Sabe-se que a resistência dessa liga tem distribuição normal, com sigma=18,30 MPa. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova apresentou resistência média de 220 MPa .
Responda à questão do item (a) utilizando um intervalo de confiança para a resistência média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a resistência à tração de uma liga de aço, que tem uma distribuição normal. Sabemos que o desvio padrão da resistência dessa liga é de sigma = 18,30 MPa. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova mostrou que a resistência média foi de 220 MPa. Nosso objetivo aqui é usar essas informações para calcular um intervalo de confiança para a resistência média dessa liga.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que provavelmente contém o valor verdadeiro da média da população. No nosso caso, queremos ter certeza de que a média real da resistência da liga está dentro desse intervalo.

Passo 3

Como a distribuição da resistência é normal e conhecemos o desvio padrão da população ( sigma = 18,30 MPa), vamos usar a distribuição Z para calcular o intervalo de confiança. A distribuição Z é apropriada quando o tamanho da amostra é grande ou quando conhecemos o desvio padrão da população, como é o nosso caso.

Passo 4

Vamos escolher o nível de confiança. Geralmente, usa-se 95%, mas como a questão não especifica, vamos assumir 95%. O nível de confiança de 95% corresponde a um valor crítico Z de aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão (EP) é dado por:
EP = sigmaraizn
Onde:
  • sigma = 18,30 MPa
  • n = 12
Vamos calcular:
EP = 18,30raiz12 approx 18,303,464 approx 5,29 MPa

Passo 6

Em seguida, calculamos a margem de erro (ME). A margem de erro é dada por:
ME = Z times EP
Usando Z = 1,96 e EP approx 5,29 MPa:
ME = 1,96 times 5,29 approx 10,37 MPa

Passo 7

Agora, construímos o intervalo de confiança. A fórmula é:
Média pm Mar>=m de Erro é
Usando a média da amostra de 220 MPa e a margem de erro de 10,37 MPa:
220 MPa pm 10,37 MPa
Isso nos dá:
[220 - 10,37, 220 + 10,37] Rightarrow [209,63 MPa, 230,37 MPa]

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a resistência média da liga de aço é entre 209,63 MPa e 230,37 MPa.

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