Um engenheiro está estudando a resistência à tração de uma liga de aço. Sabe-se que a resistência dessa liga tem distribuição normal, com
. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova apresentou resistência média de 220 MPa .
Responda à questão do item (a) utilizando um intervalo de confiança para a resistência média.
Responda à questão do item (a) utilizando um intervalo de confiança para a resistência média.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a resistência à tração de uma liga de aço, que tem uma distribuição normal. Sabemos que o desvio padrão da resistência dessa liga é de
. Uma amostra aleatória de 12 corpos de prova mostrou que a resistência média foi de 220 MPa. Nosso objetivo aqui é usar essas informações para calcular um intervalo de confiança para a resistência média dessa liga.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que provavelmente contém o valor verdadeiro da média da população. No nosso caso, queremos ter certeza de que a média real da resistência da liga está dentro desse intervalo.
Passo 3
Como a distribuição da resistência é normal e conhecemos o desvio padrão da população (
), vamos usar a distribuição Z para calcular o intervalo de confiança. A distribuição Z é apropriada quando o tamanho da amostra é grande ou quando conhecemos o desvio padrão da população, como é o nosso caso.
Passo 4
Vamos escolher o nível de confiança. Geralmente, usa-se 95%, mas como a questão não especifica, vamos assumir 95%. O nível de confiança de 95% corresponde a um valor crítico Z de aproximadamente 1,96.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão (EP) é dado por:
Onde:
Vamos calcular:
Passo 6
Em seguida, calculamos a margem de erro (ME). A margem de erro é dada por:
Usando
e
:
Passo 7
Agora, construímos o intervalo de confiança. A fórmula é:
Usando a média da amostra de 220 MPa e a margem de erro de 10,37 MPa:
Isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a resistência média da liga de aço é entre 209,63 MPa e 230,37 MPa.