Um engenheiro precisa projetar um cabo de transmissão com corrente \mathbf{I}=10 ấz A e seção A=0.02 \mathrm{~m}^{2}. Calcule a densidade de corrente vetorial e verifique a equação da continuidade.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade de corrente vetorial \mathbf{J} num cabo de seção transversal A=0,02\\ \mathrm{m}^2 que transporta uma corrente constante I=10\\ \mathrm{A}, e em seguida verificar a equação de continuidade. O conteúdo aqui é: definição de densidade de corrente \mathbf{J} e a equação de continuidade eletromagnética
\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.

Passo 2

Para um condutor homogêneo e corrente estacionária, a densidade de corrente tem magnitude uniforme dada por
J = \frac{I}{A}.
Substituindo I=10\\ \mathrm{A} e A=0,02\\ \mathrm{m}^2,
J = \frac{10}{0,02} = 500\\ \mathrm{A/m}^2.

Passo 3

Escolhendo um versor \hat{u} que indique o sentido do fluxo de corrente (por exemplo, o eixo longitudinal do cabo), a densidade de corrente vetorial é
\mathbf{J} = 500\;\hat{u}\quad\bigl[\mathrm{A/m}^2\bigr].

Passo 4

A equação de continuidade relaciona a divergência de \mathbf{J} com a variação temporal da densidade de carga \rho:
\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.
Em regime estacionário (corrente constante), não há acúmulo de carga no cabo, ou seja,
\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.

Passo 5

Como \mathbf{J} é uniforme (mesmo valor em todo ponto) e só tem componente constante ao longo do cabo, sua divergência é
\nabla\cdot\mathbf{J} = 0.
Logo a equação de continuidade fica
0 + 0 = 0,
o que confirma que está satisfeita em regime estacionário.

Resposta

\displaystyle \mathbf{J} = 500\;\hat{u}\\ \mathrm{A/m}^2, e a equação de continuidade \nabla\cdot\mathbf{J} + \partial\rho/\partial t=0 é verificada pois \nabla\cdot\mathbf{J}=0 e \partial\rho/\partial t=0.

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