Um engenheiro de qualidade verificou o diâmetro de 20 rolamentos em uma linha de produção. O desvio padrão amostral foi de
. Considerando normalidade e nível de confiança de
, determine qual intervalo de valores é plausível para a variabilidade real do diâmetro dos rolamentos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
-
Dados fornecidos:
- Número de rolamentos (tamanho da amostra):
. - Desvio padrão amostral:
. - Suposição: as medidas vêm de uma população com distribuição normal.
- Nível de confiança:
(ou seja, ).
- Número de rolamentos (tamanho da amostra):
-
O que o enunciado pede:
- Determinar um intervalo plausível para a variabilidade real dos diâmetros dos rolamentos.
- Observação: como “variabilidade” pode significar variância (
) ou desvio padrão ( ), serão apresentados ambos os intervalos (variância e desvio padrão), porque os dois são usados em diferentes contextos e o desvio padrão é geralmente mais intuitivo.
Passo 2
Entender a ferramenta matemática que vamos usar (explicação didática).
-
Quando os dados são normais, a estatísticasegue a distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. Aqui: -
é a variância amostral, -
é a variância populacional verdadeira (o que queremos inferir), -
é o tamanho da amostra, - “seguir uma distribuição qui-quadrado” significa que a probabilidade desse quociente estar em certos intervalos é dada por quantis da distribuição
.
-
-
Usando essa propriedade, pode-se construir um intervalo de confiança para
. A forma geral é: que, ao isolar, fornece como intervalo de confiança de nívelpara . -
Explicando cada símbolo:
-
é o nível de significância ( para de confiança). -
é o quantil da distribuição qui-quadrado com graus de liberdade tal que . - No nosso caso
, e os quantis que precisamos são e , com .
-
Passo 3
Aplicar a fórmula com os números da amostra.
- Primeiro calculemos
. Calcule passo a passo:
Logo
(unidade:
).
Passo 4
Escolher os valores críticos da distribuição
(peguei estes valores em uma tabela padrão da qui-quadrado para
).
- Para
e : -
. -
.
-
(Estes números são obtidos em tabelas de quantis da distribuição qui-quadrado.)
Passo 5
Calcular o intervalo de confiança para a variância
.
- Usando a fórmula
substituímos os números:
Portanto o intervalo de
para a variância populacional é aproximadamente
Passo 6
Converter o intervalo da variância para o intervalo do desvio padrão
(mais intuitivo).
- Basta tirar raiz quadrada dos extremos:
Arredondando de forma prática, o intervalo de
para o desvio padrão populacional é aproximadamente
Resposta
Intervalo de
para a variância
:
Intervalo de
para o desvio padrão
: