Um engenheiro de qualidade verificou o diâmetro de 20 rolamentos em uma linha de produção. O desvio padrão amostral foi de 0,08 \mathrm{~mm}. Considerando normalidade e nível de confiança de 99 \%, determine qual intervalo de valores é plausível para a variabilidade real do diâmetro dos rolamentos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Número de rolamentos (tamanho da amostra): n=20.
    • Desvio padrão amostral: s=0,08\\ \text{mm}.
    • Suposição: as medidas vêm de uma população com distribuição normal.
    • Nível de confiança: 99\% (ou seja, \alpha=0,01).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar um intervalo plausível para a variabilidade real dos diâmetros dos rolamentos.
    • Observação: como “variabilidade” pode significar variância ( \sigma^{2}) ou desvio padrão ( \sigma), serão apresentados ambos os intervalos (variância e desvio padrão), porque os dois são usados em diferentes contextos e o desvio padrão é geralmente mais intuitivo.

Passo 2

Entender a ferramenta matemática que vamos usar (explicação didática).
  • Quando os dados são normais, a estatística
    \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
    segue a distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Aqui:
    • S^{2} é a variância amostral,
    • \sigma^{2} é a variância populacional verdadeira (o que queremos inferir),
    • n é o tamanho da amostra,
    • “seguir uma distribuição qui-quadrado” significa que a probabilidade desse quociente estar em certos intervalos é dada por quantis da distribuição \chi^{2}.
  • Usando essa propriedade, pode-se construir um intervalo de confiança para \sigma^{2}. A forma geral é:
    P\!\left(\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}\le \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}\right)=1-\alpha,
    que, ao isolar \sigma^{2}, fornece
    \left(\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}},\\ \frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}}\right)
    como intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^{2}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \alpha é o nível de significância ( \alpha=0,01 para 99\% de confiança).
    • \chi^{2}_{p,\,\nu} é o quantil da distribuição qui-quadrado com \nu graus de liberdade tal que P(\chi^{2}_{\nu}\le \chi^{2}_{p,\,\nu})=p.
    • No nosso caso \nu=n-1=19, e os quantis que precisamos são \chi^{2}_{\alpha/2,\,19} e \chi^{2}_{1-\alpha/2,\,19}, com \alpha/2=0,005.

Passo 3

Aplicar a fórmula com os números da amostra.
  • Primeiro calculemos (n-1)s^{2}. (n-1)s^{2} = 19\cdot(0,08)^{2}.Calcule passo a passo: (0,08)^{2}=0,0064,
19\cdot 0,0064 = 0,1216.
Logo (n-1)s^{2}=0,1216 (unidade: \text{mm}^{2}).

Passo 4

Escolher os valores críticos da distribuição \chi^{2} (peguei estes valores em uma tabela padrão da qui-quadrado para \nu=19).
  • Para \nu=19 e \alpha/2=0,005:
    • \chi^{2}_{\alpha/2,\,19}=\chi^{2}_{0,005,\,19}\approx 6,844.
    • \chi^{2}_{1-\alpha/2,\,19}=\chi^{2}_{0,995,\,19}\approx 40,289.
(Estes números são obtidos em tabelas de quantis da distribuição qui-quadrado.)

Passo 5

Calcular o intervalo de confiança para a variância \sigma^{2}.
  • Usando a fórmula \left(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}},\\ \frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}}\right),substituímos os números: \text{limite inferior para }\sigma^{2}=\frac{0,1216}{\chi^{2}_{0,995,19}}=\frac{0,1216}{40,289}\approx 0,003019,
\text{limite superior para }\sigma^{2}=\frac{0,1216}{\chi^{2}_{0,005,19}}=\frac{0,1216}{6,844}\approx 0,01777.
Portanto o intervalo de 99\% para a variância populacional é aproximadamente
(0,00302,\\\ 0,01777)\\ \text{mm}^{2}.

Passo 6

Converter o intervalo da variância para o intervalo do desvio padrão \sigma (mais intuitivo).
  • Basta tirar raiz quadrada dos extremos: \sqrt{0,003019}\approx 0,05495\\ \text{mm},
\sqrt{0,01777}\approx 0,13334\\ \text{mm}.
Arredondando de forma prática, o intervalo de 99\% para o desvio padrão populacional é aproximadamente
(0,055,\\\ 0,133)\\ \text{mm}.

Resposta

Intervalo de 99\% para a variância \sigma^{2}: (0,00302,\\\ 0,01777)\\ \text{mm}^{2}
Intervalo de 99\% para o desvio padrão \sigma: (0,055,\\\ 0,133)\\ \text{mm}