1. O ensaio de tração de uma liga de alumínio permitiu obter os seguintes valores de tensão e deformação de engenharia:
\boldsymbol{\sigma} (Mpa) \boldsymbol{\varepsilon} (mm/mm)
300 0,015
350 0,030
Estes valores foram obtidos em regime plástico e a tensão limite de resistência a tração da liga de aluminio é igual a 420 MPa .
a) Proceda a determinação da equação tensão-deformação de Ludwik-Hollomon \sigma_{v}=\mathbf{k} \mathbf{e}_{v}{ }^{\mathbf{n}}.
b) Calcule o valor da tensão verdadeira correspondente a uma deformação de engenharia de 0,04 .

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (valores de tensão e deformação de engenharia) e pede duas coisas:
\begin{array}{|c|c|} \hline \boldsymbol{\sigma}\\ (\text{MPa}) & \boldsymbol{\varepsilon}\\ (\text{mm/mm})\\\ \hline 300 & 0,015\\\ \hline 350 & 0,030\\\ \hline \end{array}
Além disso foi informada a tensão limite de resistência à tração 420\\ \text{MPa}.\n
Perguntas:
a) Determinar a equação de Ludwik–Hollomon \sigma_{v} = k\,e_{v}^{\,n} (ou seja, encontrar k e n).\n
b) Calcular a tensão verdadeira \sigma_{v} correspondente à deformação de engenharia \varepsilon=0,04.\n
(Não começo a resolver aqui — apenas listei o que foi dado e o que é pedido.)

Passo 2

Para usar corretamente a lei de Hollomon precisamos trabalhar com tensões e deformações verdadeiras. Vou primeiro explicar e aplicar as fórmulas de conversão (bem comuns em ensaios de tração):\n
  • A deformação verdadeira \varepsilon_{v} é dada por
\varepsilon_{v}=\ln(1+\varepsilon),
onde \varepsilon é a deformação de engenharia. Aqui \ln é o logaritmo natural.\n
Explicação rápida: a deformação verdadeira mede alongamento acumulado de forma multiplicativa; por isso aparece o logaritmo de 1+\varepsilon.\n
  • A tensão verdadeira \sigma_{v} (antes de estricção) pode ser aproximada por
\sigma_{v}=\sigma\,(1+\varepsilon),
onde \sigma é a tensão de engenharia.\n
Explicação rápida: tensão verdadeira usa a área instantânea; sob a hipótese de conservação de volume (eixos uniformes até o início do pescoço) a relação \sigma_v=\sigma(1+\varepsilon) é a relação usual.\n
Vou aplicar estas fórmulas aos dois pontos fornecidos.

Passo 3

Cálculo para o primeiro ponto \sigma=300\\ \text{MPa}, \varepsilon=0,015:\n
\varepsilon_{v1}=\ln(1+0,015)=\ln(1,015)=0,014888\quad(\text{aprox.})
\sigma_{v1}=\;300\,(1+0,015)=300\cdot 1,015=304,5\\ \text{MPa}
Expliquei acima o significado de cada fórmula; aqui apenas calculei os valores numéricos.

Passo 4

Cálculo para o segundo ponto \sigma=350\\ \text{MPa}, \varepsilon=0,030:\n
\varepsilon_{v2}=\ln(1+0,030)=\ln(1,03)=0,029559\quad(\text{aprox.})
\sigma_{v2}=\;350\,(1+0,030)=350\cdot 1,03=360,5\\ \text{MPa}

Passo 5

Agora uso a forma de Ludwik–Hollomon e linearizo para poder resolver os parâmetros k e n. A lei é
\sigma_{v}=k\,\varepsilon_{v}^{\,n}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos uma relação linear:
\ln(\sigma_{v})=\ln(k)+n\,\ln(\varepsilon_{v}).
Isto é útil porque com dois pontos podemos montar um sistema linear para \ln(k) e n.

Passo 6

Calculo dos logaritmos dos valores já obtidos (uso os valores numéricos calculados nos passos anteriores):\n
\ln(\sigma_{v1})=\ln(304,5)=5,71867\quad(\text{aprox.})
\ln(\sigma_{v2})=\ln(360,5)=5,88749\quad(\text{aprox.})
\ln(\varepsilon_{v1})=\ln(0,014888)=-4,20647\quad(\text{aprox.})
\ln(\varepsilon_{v2})=\ln(0,029559)=-3,52217\quad(\text{aprox.})

Passo 7

Escrevo o sistema linear a partir de \ln(\sigma_{v})=\ln(k)+n\ln(\varepsilon_{v})\) para os dois pontos: \[\begin{cases} 5,71867=\ln(k)+n\cdot(-4,20647)\\[4pt] 5,88749=\ln(k)+n\cdot(-3,52217) \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar \ln(k)\] e achar \(n:
n=\frac{5,88749-5,71867}{-3,52217-(-4,20647)}
Calculo passo a passo:
\text{numerador}=5,88749-5,71867=0,16882
\text{denominador}=-3,52217+4,20647=0,68430
n=\frac{0,16882}{0,68430}=0,2467\quad(\text{aprox.})]

Passo 8

Com n conhecido calculo \ln(k) usando uma das equações (uso a primeira):
\ln(k)=5,71867 - n\cdot(-4,20647)
Substituindo n=0,2467:
\ln(k)=5,71867 - 0,2467\cdot(-4,20647)=5,71867+1,0376=6,75627
Logo
k=\mathrm{e}^{6,75627}=860,8\\ \text{MPa}\quad(\text{aprox.})

Passo 9

Agora já temos a equação de Hollomon (obtida a partir dos valores calculados, usada para responder a parte (a)). Em seguida faço a parte (b): calcular a tensão verdadeira correspondente à deformação de engenharia \varepsilon=0,04.\n
Primeiro converto a deformação de engenharia em deformação verdadeira:
\varepsilon_{v}=\ln(1+0,04)=\ln(1,04)=0,039221\quad(\text{aprox.})

Passo 10

Aplico a lei de Hollomon com os parâmetros encontrados para obter \sigma_{v}:
usar a forma logaritmada para facilitar cálculo:
\ln(\sigma_{v})=\ln(k)+n\,\ln(\varepsilon_{v}).
Substituindo os valores:
\ln(\varepsilon_{v})=\ln(0,039221)=-3,23868\quad(\text{aprox.})
\ln(\sigma_{v})=6,75627 + 0,2467\cdot(-3,23868)=6,75627-0,7993=5,95697
Finalmente
\sigma_{v}=\mathrm{e}^{5,95697}=387,6\\ \text{MPa}\quad(\text{aprox.})

Resposta

\sigma_{v}=860{,}8\\ \mathrm{MPa}\,\varepsilon_{v}^{\,0{,}2467}
\sigma_{v}( \varepsilon=0{,}04)=387{,}6\\ \text{MPa}

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