1.3 A entrada de um bocal convergente tem uma seção de 100(cm^{2}) e por ela entra ar com uma velocidade de 50(m / s) com uma pressão de 350(kPa) e uma temperatura de 227(^{\circ} C). Na saída a velocidade do ar é de 190(m / s), para uma pressão de 120(kPa). Determinar o que se pede e comentar os resultados:
(Pontuação 30 % da questão).
c) A vazão mássica no bocal;
d) A temperatura do ar na saída do bocal;
e) O diâmetro comercial da seção de saída do bocal;
f) O diâmetro comercial da seção de entrada do bocal;
g) A eficiência isentrópica do bocal.

Passo 1

O enunciado descreve um bocal convergente com entrada de área A_1=100\\ \text{cm}^2 0{,}01\\ \text{m}^2, onde o ar entra a velocidade v_1=50\\ \text{m/s}, pressão p_1=350\\ \text{kPa} e temperatura T_1=227\\ ^\circ\text{C} 500{,}15\\ \text{K}. Na saída o ar sai a v_2=190\\ \text{m/s} e p_2=120\\ \text{kPa}. Vamos usar:
  1. conservação de massa \dot m=\rho_1A_1v_1, com \rho_1=p_1/(RT_1);
  2. conservação de energia (entalpia mais energia cinética constante) para achar T_2;
  3. equação de estado dos gases ideais para densidade na saída;
  4. área e diâmetros via \dot m=\rho_2A_2v_2 e d=\sqrt{4A/\pi};
  5. eficiência isentrópica \eta=(T_1-T_2)/(T_1-T_{2s}), usando T_{2s}=T_1(p_2/p_1)^{(k-1)/k}. Tomamos R=287\\ \text{J/kg\cdotK}, c_p=1004\\ \text{J/kg\cdotK} e k=1{,}4.

Passo 2

Calcular \rho_1 e a vazão mássica \dot m.
\rho_1=\frac{p_1}{R\,T_1} =\frac{350000}{287\cdot500{,}15} \approx2{,}439\\ \text{kg/m}^3
\dot m=\rho_1\,A_1\,v_1 =2{,}439\cdot0{,}01\cdot50 \approx1{,}22\\ \text{kg/s}

Passo 3

Usar balanço de energia para achar T_2:
h_1+\frac{v_1^2}{2}=h_2+\frac{v_2^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad c_p(T_1-T_2)=\frac{v_2^2-v_1^2}{2}
T_2 = T_1-\frac{v_2^2-v_1^2}{2\,c_p} =500{,}15-\frac{190^2-50^2}{2\cdot1004} \approx483{,}43\\ \text{K}

Passo 4

Determinar área e diâmetro na saída. Primeiro a densidade \rho_2:
\rho_2=\frac{p_2}{R\,T_2} =\frac{120000}{287\cdot483{,}43} \approx0{,}8645\\ \text{kg/m}^3
Área de saída:
A_2=\frac{\dot m}{\rho_2\,v_2} =\frac{1{,}22}{0{,}8645\cdot190} \approx0{,}00743\\ \text{m}^2
Diâmetro comercial de saída:
d_2=\sqrt{\frac{4A_2}{\pi}} =\sqrt{\frac{4\cdot0{,}00743}{\pi}} \approx0{,}0972\\ \text{m}

Passo 5

Diâmetro comercial de entrada:
d_1=\sqrt{\frac{4A_1}{\pi}} =\sqrt{\frac{4\cdot0{,}01}{\pi}} \approx0{,}1128\\ \text{m}

Passo 6

Calcular eficiência isentrópica \eta. Primeiro T_{2s} isentrópico:
T_{2s} = T_1\Bigl(\frac{p_2}{p_1}\Bigr)^{\frac{k-1}{k}} =500{,}15\,(0{,}342857)^{0{,}2857} \approx368{,}1\\ \text{K} \eta pelo decréscimo de entalpia:
\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1-T_{2s}} =\frac{500{,}15-483{,}43}{500{,}15-368{,}1} \approx0{,}127\quad(12{,}7\%)

Resposta

(c) \dot m\approx1{,}22\\ \text{kg/s}.
(d) T_2\approx483{,}43\\ \text{K} ( \approx 210\circC).
(e) A_2\approx0{,}00743\\ \text{m}^2, d_2\approx0{,}097\\ \text{m} (100 mm).
(f) d_1\approx0{,}113\\ \text{m} (110 mm).
(g) \eta\approx0{,}127 (12,7 %).

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