A entrada e saída de um sistema LIT estável e causal estão relacionadas pela equação diferencial:
a) Encontre a resposta ao impulso desse sistema.
b) Qual é a resposta desse sistema a uma entrada
c) Repita o item a) para os sistemas LIT estáveis e causais descritos pelas seguintes equações:
I.
II.
III.
b) Qual é a resposta desse sistema a uma entrada
c) Repita o item a) para os sistemas LIT estáveis e causais descritos pelas seguintes equações:
I.
II.
III.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, representando um sistema LTI estável e causal. Precisamos:
- (a) achar a resposta ao impulso
, isto é, a saída quando . - (b) achar a saída para
. - (c) repetir o item (a) para três outras ODEs.
Aqui vamos usar transformada de Laplace, já que para sistemas descritos por ODE é imediato obter a função de transferênciae depois inverter para .
Passo 2
(a) Aplicamos Laplace na equação
usando condições iniciais nulas (sistema causal) e
genérica:
Logo a função de transferência é
Passo 3
Para inverter
fazemos frações parciais:
e obtemos
,
. Assim
Passo 4
(b) Para
usamos Laplace:
Então
Fazendo decomposição em frações parciais
enchemos os coeficientes e achamos
Invertemos cada termo:
Passo 5
(c.I) Para
na Laplace temos
Sejam
e
. Então
o que no tempo dá
Passo 6
(c.II) Para
temos
logo
Passo 7
(c.III) Para
obtemos
que inverte para
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)