Um sistema elétrico é descrito pela equação diferencial abaixo. Calcule a resposta \mathrm{i}(\mathrm{t}) do sistema a um sinal de entrada v(t), usando para isso o método de resolução de equações diferenciais demonstrado em sala de aula, isto é, através soma da resposta homogênea i_{h}(t) e a resposta forçada \mathrm{i}_{\mathrm{f}}(\mathrm{t}).
i^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} i^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} i(t)=\frac{1}{L} v^{\prime}(t)
\mathrm{L}=0.5 \mathrm{H}
\mathrm{C}=14 \mathrm{mF}
\mathrm{i}(0)=0
\mathrm{i}^{\prime}(0)=10
\mathrm{R}=0 \mathrm{~W}
v(t)=20 \cos (10 t)

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de segunda ordem
i''(t)+\frac{R}{L}\,i'(t)+\frac{1}{LC}\,i(t)=\frac{1}{L}\,v'(t)
pela soma da resposta homogênea i_h(t) e da resposta particular i_f(t), com L=0,5,H, C=14,mF, R=0, \Omega, i(0)=0, i'(0)=10 e v(t)=20\cos(10t).

Passo 2

Substituindo R=0, L=0,5 e C=0,014 na equação e calculando \tfrac{1}{LC}=\tfrac{1}{0,5\cdot0,014}=\tfrac{1}{0,007} e
\frac{1}{L}\,v'(t)=2\cdot\frac{d}{dt}\bigl[20\cos(10t)\bigr]=2\cdot(-200\sin(10t))=-400\sin(10t),
ficamos com
i''(t)+\frac{1}{0,007}\,i(t)=-400\sin(10t).

Passo 3

A resposta homogênea satisfaz
i_h''(t)+\omega_0^2\,i_h(t)=0,\quad \omega_0^2=\tfrac{1}{0,007},\quad \omega_0=\sqrt{\tfrac{1}{0,007}}\approx11{,}952.
Logo
i_h(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t).

Passo 4

Para a resposta particular assumimos
i_p(t)=\alpha\cos(10t)+\beta\sin(10t).
Então
i_p''(t)=-100\alpha\cos(10t)-100\beta\sin(10t).
Substituindo em i''+\omega_0^2 i=-400\sin(10t)
(-100\alpha+\omega_0^2\alpha)\cos(10t)+(-100\beta+\omega_0^2\beta)\sin(10t)=-400\sin(10t).
Igualando coeficientes:
\alpha(\omega_0^2-100)=0\quad\Rightarrow\quad\alpha=0,
\beta(\omega_0^2-100)=-400\quad\Rightarrow\quad \beta=-\frac{400}{\omega_0^2-100}=-\frac{400}{\tfrac{1}{0,007}-100}=-\frac{28}{3}\approx-9{,}333.
Portanto
i_p(t)=-\frac{28}{3}\sin(10t).

Passo 5

A solução geral é
i(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)-\frac{28}{3}\sin(10t).
Usando i(0)=0 vem A=0. Para i'(t):
i'(t)=B\omega_0\cos(\omega_0 t)-\frac{28}{3}\cdot10\cos(10t),
e em t=0, i'(0)=10
B\,\omega_0-\frac{280}{3}=10 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{10+\tfrac{280}{3}}{\omega_0}=\frac{310/3}{\omega_0}\approx8{,}648.
Assim
i(t)=\frac{310}{3\,\omega_0}\sin(\omega_0 t)-\frac{28}{3}\sin(10t), \quad\omega_0\approx11{,}952.

Resposta

i(t)\approx8{,}648\;\sin\bigl(11{,}952\,t\bigr)\;-\;9{,}333\;\sin\bigl(10t\bigr).

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