Entropia: Um cubo de gelo de 100 g , a -10^{\circ} \mathrm{C}, é colocado numa garrafa térmica contendo 1 kg de água a 100^{\circ} \mathrm{C}. Qual a variação da entropia até o sistema atingir o equilíbrio térmico? Dados: o calor específico da água e do gelo iguais a 1 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} C e 0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} C e o calor de fusão do gelo igual a 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado pede a variação total de entropia ao colocar um cubo de gelo de massa m_i=100\,\mathrm{g} a -10^\circ C numa garrafa térmica com água de massa m_w=1000\,\mathrm{g} a 100^\circ C, até o equilíbrio térmico. O conteúdo envolve processos reversíveis de aquecimento, fusão e resfriamento, usando
– Primeiro princípio (balanço de energia) para achar a temperatura de equilíbrio T_f.
– Definição de entropia \mathrm{d}S = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T} para cada etapa.

Passo 2

Encontrar T_f pelo balanço de energia (sem perdas):
Q_\text{perdida\,água} + Q_\text{ganha\,gelo}=0.á
Em detalhes, tomando calor específico do gelo c_i=0,5\,\mathrm{cal/(g\,^\circ C)}, da água c_w=1\,\mathrm{cal/(g\,^\circ C)} e calor de fusão L=80\,\mathrm{cal/g}:
m_w\,c_w\,(T_f -100) + m_i\,c_i\,(0 -(-10)) + m_i\,L + m_i\,c_w\,(T_f -0) =0.
Substituindo valores:
1000\,(T_f -100) + 100\cdot0,5\cdot10 + 100\cdot80 + 100\,(T_f) =0
1000\,T_f -100000 +500 +8000 +100\,T_f=0
1100\,T_f =91500 \quad\Longrightarrow\quad T_f \approx83,18^\circ C.
Em Kelvin: T_f\approx83,18+273,15=356,33\,\mathrm{K}.

Passo 3

Calcular \DeltaS pelo aquecimento do gelo de -10^\circ C ( 263,15\,\mathrm{K}) até 0^\circ C ( 273,15\,\mathrm{K}), de forma reversível:
\Delta S_1 = m_i\,c_i \int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}T}{T} = m_i\,c_i \ln\!\biggl(\frac{T_2}{T_1}\biggr).
Logo,
\Delta S_1 =100\cdot0,5\;\ln\!\Bigl(\frac{273,15}{263,15}\Bigr) =50\;\ln(1,038) \approx1,8\;\mathrm{cal/K}.

Passo 4

Calcular \DeltaS na fusão do gelo à 0^\circ C ( 273,15\,\mathrm{K}):
\Delta S_2 = \frac{Q_\text{fusão}}{T_\text{fusão}} = \frac{m_i\,L}{273,15} = \frac{100\cdot80}{273,15} \approx29,3\;\mathrm{cal/K}.ãã

Passo 5

Calcular \DeltaS pelo aquecimento da água de fusão de 0^\circ C até T_f:
\Delta S_3 = m_i\,c_w \int_{273,15}^{356,33}\frac{\mathrm{d}T}{T} = m_i\,c_w \ln\!\biggl(\frac{T_f}{273,15}\biggr).
Assim,
\Delta S_3 =100\cdot1\;\ln\!\Bigl(\frac{356,33}{273,15}\Bigr) =100\;\ln(1,304) \approx26,6\;\mathrm{cal/K}.

Passo 6

Calcular \DeltaS pela resfriamento da água original de 100^\circ C ( 373,15\,\mathrm{K}) até T_f:
\Delta S_4 = m_w\,c_w \int_{373,15}^{356,33}\frac{\mathrm{d}T}{T} =1000\cdot1\;\ln\!\Bigl(\frac{356,33}{373,15}\Bigr) \approx1000\;\ln(0,955) \approx-46,0\;\mathrm{cal/K}.

Passo 7

Somar todas as contribuições de entropia:
\Delta S_\text{total} =\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4 \approx1,8 +29,3 +26,6 -46,0 \approx11,7\;\mathrm{cal/K}.

Resposta

A variação de entropia do sistema até o equilíbrio é aproximadamente
\boxed{\,\Delta S_\text{total}\approx11,7\;\mathrm{cal/K}\,}.

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