Enumere a segunda coluna de acordo com a primeira. Só será aceita a questão com os cálculos referentes as conclusões feitas.
a) A área do paralelogramo determinado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}
b) A área do triângulo determinado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}
c) O volume do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}
Passo 1
O enunciado pede que se faça a correspondência entre a primeira coluna (itens a, b, c) e expressões/quantidades da segunda coluna. Os pedidos são:
(a) Calcular a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
(b) Calcular a área do triângulo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
(c) Calcular o volume do paralelepípedo formado por \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
Informações implícitas que vamos usar:
\vec{u},\vec{v} são vetores em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 (podem ser considerados em \mathbb{R}^3 para usar o produto vetorial).
\vec{w} é um vetor em \mathbb{R}^3 (necessário para volume do paralelepípedo).
Não foi dado um conjunto numérico específico, então vamos demonstrar as fórmulas e verificar com exemplos numéricos concretos para cada caso.
Passo 2
Entender a área do paralelogramo: geometricamente, se \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, a área do paralelogramo é
\text{área} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta.
Agora vamos conectar isso ao produto vetorial. Para \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 o produto vetorial é definido por
Área do triângulo determinado por \vec{u} e \vec{v}: um triângulo formado por \vec{u} e \vec{v} como lados adjacentes tem área igual à metade da área do paralelogramo formado por esses vetores. Portanto
\text{área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.áâ
Usando o exemplo anterior, a área do triângulo seria \tfrac{1}{2}\cdot 4=2.
Passo 5
Volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}: definir o produto misto (produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois)
Justificativa geométrica rápida: \|\vec{v}\times\vec{w}\| dá a área da base (paralelogramo gerado por \vec{v},\vec{w}), e |\cos\varphi|=|\frac{\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\times\vec{w}\|}| fornece a projeção de \vec{u} na direção normal à base; multiplicando área da base por altura (projeção de \vec{u}) obtém-se o volume, e isso resulta em |\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|.]
Passo 6
Exemplo numérico para volume (cálculo explícito):
Escolhemos \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,2,0), \vec{w}=(0,0,3).