Enumere a segunda coluna de acordo com a primeira. Só será aceita a questão com os cálculos referentes as conclusões feitas.
a) A área do paralelogramo determinado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}
b) A área do triângulo determinado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}
c) O volume do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}

Passo 1

O enunciado pede que se faça a correspondência entre a primeira coluna (itens a, b, c) e expressões/quantidades da segunda coluna. Os pedidos são:
  • (a) Calcular a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
  • (b) Calcular a área do triângulo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
  • (c) Calcular o volume do paralelepípedo formado por \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
Informações implícitas que vamos usar:
  • \vec{u},\vec{v} são vetores em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 (podem ser considerados em \mathbb{R}^3 para usar o produto vetorial).
  • \vec{w} é um vetor em \mathbb{R}^3 (necessário para volume do paralelepípedo).
    Não foi dado um conjunto numérico específico, então vamos demonstrar as fórmulas e verificar com exemplos numéricos concretos para cada caso.

Passo 2

Entender a área do paralelogramo: geometricamente, se \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, a área do paralelogramo é
\text{área} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta.á
Agora vamos conectar isso ao produto vetorial. Para \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 o produto vetorial é definido por
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
e tem a propriedade importante
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta.
Demonstração rápida dessa propriedade (passo a passo):
  1. Por definição do produto escalar, \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta.
  2. Calcule \|\vec{u}\times\vec{v}\|^2. Uma identidade vetorial é
\|\vec{u}\times\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2.
  1. Substituindo \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta na identidade:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2\cos^2\theta =\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2(1-\cos^2\theta) =\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2\sin^2\theta.
  1. Tomando raiz positiva,
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta,
o que coincide exatamente com a área do paralelogramo. Portanto concluímos que a área do paralelogramo é \|\vec{u}\times\vec{v}\|.]

Passo 3

Exemplo numérico para consolidar (cálculo explícito):
Escolhemos \vec{u}=(1,2,0) e \vec{v}=(2,0,0).
  1. Calcule o produto vetorial:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} =\big(2\cdot0-0\cdot0\big)\mathbf{i}-\big(1\cdot0-0\cdot2\big)\mathbf{j}+\big(1\cdot0-2\cdot2\big)\mathbf{k} =(0,0,-4).
  1. Magnitude:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{0^2+0^2+(-4)^2}=4.
Logo a área do paralelogramo é 4. Verificação alternativa usando \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},\qquad \|\vec{v}\|=2,\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+2\cdot0=2,
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}, \qquad \sin\theta=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta=\sqrt{5}\cdot2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=4,
confirmação perfeita.]

Passo 4

Área do triângulo determinado por \vec{u} e \vec{v}: um triângulo formado por \vec{u} e \vec{v} como lados adjacentes tem área igual à metade da área do paralelogramo formado por esses vetores. Portanto
\text{área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.áâ
Usando o exemplo anterior, a área do triângulo seria \tfrac{1}{2}\cdot 4=2.

Passo 5

Volume do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}: definir o produto misto (produto escalar do primeiro com o produto vetorial dos outros dois)
\text{produto misto}=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Propriedades importantes:
  • Geometricamente, |\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})| é o volume do paralelepípedo com arestas \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • Algebricamente, esse valor é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3\end{pmatrix}.
Justificativa geométrica rápida: \|\vec{v}\times\vec{w}\| dá a área da base (paralelogramo gerado por \vec{v},\vec{w}), e |\cos\varphi|=|\frac{\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\times\vec{w}\|}| fornece a projeção de \vec{u} na direção normal à base; multiplicando área da base por altura (projeção de \vec{u}) obtém-se o volume, e isso resulta em |\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|.]

Passo 6

Exemplo numérico para volume (cálculo explícito):
Escolhemos \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,2,0), \vec{w}=(0,0,3).
  1. Calcule \vec{v}\times\vec{w}:
\vec{v}\times\vec{w}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} =(2\cdot3-0)\mathbf{i}- (0\cdot3-0\cdot0)\mathbf{j} + (0\cdot0-2\cdot0)\mathbf{k}=(6,0,0).
  1. Produto escalar com \vec{u}:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(1,0,0)\cdot(6,0,0)=6.
  1. Logo o volume do paralelepípedo é |6|=6. Isso coincide com a intuição: comprimentos das arestas projetadas são 1, 2 e 3, produto 1\cdot2\cdot3=6.]

Resposta

a) \|\vec{u}\times\vec{v}\|
b) \tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|
c) \bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr|

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