Enuncie e demonstre o teorema de Carnot considerando um motor reversível e outro irreversível que absorvem diferentes quantidades de calor do mesmo reservatório quente e despejam a mesma quantidade de calor para o mesmo reservatório frio, e use o enunciado de Kelvin-Planck (na sala de aula, demonstramos o teorema usando o enunciado de Clausius).
Passo 1
O enunciado é o seguinte: temos dois motores térmicos operando entre o mesmo reservatório quente a temperatura
e o mesmo reservatório frio a temperatura
. Um deles é reversível (vamos chamar de
), o outro é irreversível (chamado
). Ambos rejeitam a mesma quantidade de calor
para o reservatório frio, mas absorvem quantidades de calor
e
possivelmente diferentes do reservatório quente. Vamos usar o enunciado de Kelvin–Planck (não existe ciclo que converta integralmente calor em trabalho) para mostrar que nenhum motor irreversível pode ter eficiência maior que um reversível.
Passo 2
Definimos a eficiência de cada motor como a razão entre o trabalho entregue e o calor absorvido do reservatório quente. Em termos de
e
a eficiência é
Logo para cada motor:
Passo 3
Suponha, por absurdo, que o motor irreversível
seja mais eficiente que o reversível
, ou seja
Isso implica
e, ao simplificar,
Como
, segue que
Passo 4
Agora, execute o motor reversível
ao contrário, isto é, como uma máquina frigorífica. Nesse modo inverso ele absorve
do reservatório frio, recebe trabalho
e despeja
no reservatório quente. Mantemos o motor irreversível
em seu modo normal, gerando trabalho
.
Passo 5
Ao acoplar esses dois aparelhos, o trabalho líquido produzido pelo conjunto é
Pelas relações acima temos
, portanto
Isso significa que o conjunto retira calor do reservatório quente (quantidade
), não troca calor com o frio (pois o
é retirado e devolvido), e converte integralmente essa diferença em trabalho positivo. Isso viola o enunciado de Kelvin–Planck.
Passo 6
Como chegamos a uma contradição com o princípio de Kelvin–Planck, nossa hipótese inicial (
) está errada. Logo não existe motor irreversível operando entre dois mesmos reservatórios que seja mais eficiente que um motor reversível. Além disso, todos os motores reversíveis entre as mesmas temperaturas têm a mesma eficiência, dependendo apenas de e
.
) está errada. Logo não existe motor irreversível operando entre dois mesmos reservatórios que seja mais eficiente que um motor reversível. Além disso, todos os motores reversíveis entre as mesmas temperaturas têm a mesma eficiência, dependendo apenas de
Resposta
Nenhum motor irreversível operando entre dois reservatórios térmicos pode ter eficiência maior que um motor reversível entre esses mesmos reservatórios. Consequentemente, a eficiência máxima de um motor térmico ideal (reversível) depende só das temperaturas
e
e vale