Um gás cuja energia interna só depende da temperatura satisfaz a equação de estado
, em que
é uma constante positiva. Mostre que a
eficiência do motor de Carnot que usa esse gás é
, onde
é a temperatura do reservatório frio e
, do reservatório quente.
eficiência do motor de Carnot que usa esse gás é
Passo 1
O enunciado apresenta um gás não-ideal cuja energia interna U depende apenas da temperatura θ e que satisfaz a equação de estado
, com B constante. Queremos mostrar que, em um ciclo de Carnot reversível entre os reservatórios a
e
, a eficiência é
. Para isso, usaremos a 1ª lei da termodinâmica, o cálculo de calor em isotermas e a condição
para adiabáticas reversíveis.
Passo 2
Durante a transformação isotérmica em
, como
, todo calor recebido se transforma em trabalho. Assim se obtém
Analogamente, na isotérmica em
temos
Passo 3
Nas adiabáticas reversíveis satisfazemos
, ou seja, pela 1ª lei
Como
e
, isso leva a
cuja integração dá
Passo 4
Aplicando essa relação entre os estados b→c (de
a
) e entre d→a (de
a
), obtém-se a igualdade das razões de volumes nos dois ramos isotérmicos:
Passo 5
Com essa igualdade, as expressões de
e
satisfazem
e, portanto, a eficiência do ciclo de Carnot é