Um gás cuja energia interna só depende da temperatura satisfaz a equação de estado P(V-B)=n R theta, em que B é uma constante positiva. Mostre que a
eficiência do motor de Carnot que usa esse gás é etaR=1-thetaC / thetaH, onde thetaC é a temperatura do reservatório frio e thetaH, do reservatório quente.

Passo 1

O enunciado apresenta um gás não-ideal cuja energia interna U depende apenas da temperatura θ e que satisfaz a equação de estado P(V - B) = nRtheta, com B constante. Queremos mostrar que, em um ciclo de Carnot reversível entre os reservatórios a thetaH e thetaC, a eficiência é etaR = 1 - thetaC/thetaH. Para isso, usaremos a 1ª lei da termodinâmica, o cálculo de calor em isotermas e a condição dQ=0 para adiabáticas reversíveis.

Passo 2

Durante a transformação isotérmica em thetaH, como De, todo calor recebido se transforma em trabalho. Assim se obtém
QH = integrala^b P,dV = nRthetaH integralVa^Vb dVV - B = nRthetaH lnVb - BVa - B
Analogamente, na isotérmica em thetaC temos
QC = nRthetaC lnVc - BVd - B

Passo 3

Nas adiabáticas reversíveis satisfazemos dQ = 0, ou seja, pela 1ª lei
dU + P,dV = 0
Como dU = CV,dtheta e P = tfracnRthetaV - B, isso leva a
CV dthetatheta + nR dVV - B = 0
cuja integração dá
CV lntheta + nR ln(V - B) = constante

Passo 4

Aplicando essa relação entre os estados b→c (de thetaH a thetaC) e entre d→a (de thetaC a thetaH), obtém-se a igualdade das razões de volumes nos dois ramos isotérmicos:
Vb - BVa - B = Vc - BVd - B

Passo 5

Com essa igualdade, as expressões de QH e QC satisfazem
QCQH = thetaCthetaH
e, portanto, a eficiência do ciclo de Carnot é
etaR = 1 - QCQH = 1 - thetaCthetaH

Resposta

etaR = 1 - tfracthetaCthetaH

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