Enuncie as regras básicas para o esboço do lugar das raízes.

Passo 1

O que o enunciado pede: enunciar as regras básicas para o esboço do lugar das raízes (root locus).\n
Informações dadas / assumidas: queremos as regras gerais aplicáveis a um sistema em laço fechado com função de malha aberta L(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}, onde K é o ganho variável, N(s) é o polinômio dos zeros em malha aberta e D(s) é o polinômio dos polos em malha aberta. A tarefa é listar e explicar as regras que eu uso na prova para desenhar/esboçar o lugar das raízes quando K varia de 0 a +\infty.\n

Passo 2

Definição fundamental (para a prova): o lugar das raízes é o conjunto dos polos fechados do sistema (raízes da equação característica) quando o ganho K varia de 0 até +\infty.\n
Equação característica: 1+L(s)=0 \quad\text{ou}\quad 1+K\frac{N(s)}{D(s)}=0.
Isto é equivalente a D(s)+K\,N(s)=0.
Explicação das letras: D(s) é o polinômio que tem as posições dos polos em malha aberta; N(s) é o polinômio que tem as posições dos zeros em malha aberta; K é o parâmetro que varia e desloca as raízes fechadas. No esboço, vamos trabalhar com as condições de ângulo e magnitude da teoria.

Passo 3

Regra 1 — número de ramos do lugar das raízes: o número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha aberta n (grau de D(s)). Cada ramo começa em um polo de malha aberta quando K=0 e, conforme K cresce, cada ramo vai terminar em um zero em malha aberta (se houver) ou em um “zero no infinito” quando n>m (onde m é o número de zeros).\n
Por isso, sempre conte os polos em malha aberta: esse é o número de curvas que você vai desenhar.

Passo 4

Regra 2 — pontos de partida e chegada:\n
  • Quando K=0: as raízes fechadas coincidem com os polos abertos p_i (cada ramo começa em um p_i).\n
  • Quando K\to+\infty: cada ramo vai para um zero aberto z_j ou, se não houver zeros suficientes ( n>m), n-m ramos vão para zeros no infinito seguindo as assíntotas.\n
    Isto é útil na prova: marque todos os polos (com \times) e zeros (com \circ) no plano s; as curvas começam nas \times e terminam nas \circ (ou no infinito).

Passo 5

Regra 3 — simetria: o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real. Motivo simples: se L(s) tem coeficientes reais, raízes complexas aparecem em conjugados; logo desenhamos sempre simetricamente.\n
Na prática: se você achar um ramo que sai para cima da parte real, deve haver outro ramo simétrico para baixo.

Passo 6

Regra 4 — quais pontos do eixo real pertencem ao lugar das raízes: critério do eixo real (muito usado em provas): um ponto real s=\sigma pertence ao lugar das raízes se, ao contar todos os polos e zeros localizados à direita desse ponto (no eixo real), o número total for ímpar.\n
Explicação derivada da condição de ângulo:\n
A condição de ângulo do lugar das raízes é \sum_{i=1}^{n} \angle(s-p_i) - \sum_{j=1}^{m} \angle(s-z_j) = (2k+1)\pi.
No eixo real, os ângulos são múltiplos de \pi, e o critério reduz ao “número de polos+zeros à direita é ímpar”.\n
Como aplicar: marque todos os polos/zeros na reta real; entre cada par consecutivo você verifica quantos polos+zeros estão à direita; se for ímpar, desenhe ramo ali; se for par, não desenhe.

Passo 7

Regra 5 — assíntotas quando n>m: quando há mais polos que zeros ( n>m), r=n-m ramos tendem ao infinito em direção a r assíntotas. As fórmulas úteis são:\n
número de assíntotas: \;r=n-m.\n
ângulos das assíntotas: \phi_k = \frac{(2k+1)\pi}{r},\quad k=0,1,\dots,r-1.\n
centro (ou centróide) das assíntotas: \sigma_a = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i - \sum_{j=1}^{m} z_j}{r},
onde \sum p_i é a soma dos polos em malha aberta e \sum z_j é a soma dos zeros em malha aberta.\n
Como usar na prova: desenhe as assíntotas a partir do ponto real \sigma_a com os ângulos \phi_k. Isso dá a direção dos ramos que vão ao infinito.

Passo 8

Regra 6 — pontos de breakaway / break-in (saída/entrada de ramos no eixo real):\n
Conceito: em segmentos do eixo real onde existem múltiplos polos, os ramos podem se separar (breakaway) ou juntar (break-in). Esses pontos são encontrados onde \frac{dK}{ds}=0 usando a relação de magnitude para K.\n
Formula prática: da equação característica rearranjada temos K = -\frac{D(s)}{N(s)}.
Os pontos de breakaway/break-in real são soluções reais de \frac{d}{ds}\!\left(-\frac{D(s)}{N(s)}\right)=0
que caem nos segmentos reais que pertencem ao lugar (veja Regra 4). Em termos de polinômios, isso dá a condição \frac{dD(s)}{ds}N(s)-D(s)\frac{dN(s)}{ds}=0.\n
Como aplicar: calcule esse polinômio, encontre raízes reais, e mantenha só aquelas que pertencem a um segmento real válido (regra do número ímpar).

Passo 9

Regra 7 — ângulo de partida (departure) e de chegada (arrival) em polos/zeros complexos:\n
Quando um ramo sai de um polo complexo p (para K pequeno) a direção inicial do ramo (ângulo de partida) pode ser encontrada usando a condição de ângulo da função L(s). Para um polo p, exclua o ângulo do vetor s-p ao avaliar em s=p; a fórmula operacional é:\n
\theta_{\text{dep}} = \pi - \Bigg(\sum_{\substack{\text{outros polos }p_k}} \angle(p-p_k) - \sum_{\text{zeros }z_j} \angle(p-z_j)\Bigg).\n
Analogamente, para um zero complexo z, o ângulo de chegada do ramo que termina em z é obtido avaliando a condição de ângulo em s=z, excluindo o termo correspondente ao zero em que se avalia.\n
Dica prática: calcule todos os ângulos dos vetores entre o ponto (polo/zero) e os demais polos/zeros, some com sinais e use a fórmula acima; converta o resultado para graus se preferir.

Passo 10

Regra 8 — cruzamentos do eixo imaginário (pontos onde raízes fechadas passam pelo eixo j\omega):\n
Dois métodos usuais:\n
  1. Substituir s=j\omega na equação característica D(j\omega)+K N(j\omega)=0, separar partes real e imaginária e resolver simultaneamente para \omega e K.\n
  2. Usar o critério de Routh-Hurwitz na equação característica D(s)+K N(s) para encontrar valores de K que tornem a borda de estabilidade (ou seja, que provoquem perda de estabilidade via cruzamento no eixo imaginário).\n
    Na prova: se pedirem estabilidade ou valores críticos de K, use Routh — é geralmente mais rápido e robusto.

Passo 11

Regra 9 — condição de magnitude para obter K em um ponto do locus:\n
Se s_0 é um ponto no plano complexo que pertence ao lugar das raízes, então deve satisfazer a condição de ângulo e a condição de magnitude. A condição de magnitude dá o valor de K naquele ponto:\n
|L(s_0)| = 1 \quad\Rightarrow\quad K = \frac{|D(s_0)|}{|N(s_0)|}.\n
Na prova: depois de localizar um ponto s_0 no locus (por exemplo, um cruzamento no imaginário ou um ponto numa curva), você pode calcular o ganho K correspondente usando essa fórmula.

Passo 12

Procedimento prático passo a passo para esboçar um lugar das raízes (coloque isso na sua checklist de prova):\n
  1. Escreva L(s)=K\frac{N(s)}{D(s)} e marque polos \times e zeros \circ no plano s.\n
  2. Use Regra 3 para lembrar quantos ramos existem ( n).\n
  3. Determine os segmentos do eixo real que pertencem ao locus (Regra 4) e desenhe-os.\n
  4. Se n>m, calcule o centróide e os ângulos das assíntotas (Regra 5) e desenhe-as.\n
  5. Procure pontos de breakaway/break-in resolvendo \frac{dK}{ds}=0 conforme Regra 6; mantenha os que pertencem aos segmentos válidos.\n
  6. Calcule ângulos de partida/chegada em polos/zeros complexos (Regra 7) para orientar os ramos próximos a polos/zeros.\n
  7. Verifique cruzamentos do eixo imaginário (Regra 8) usando Routh ou substituição s=j\omega; marque os pontos e calcule K usando Regra 9.\n
  8. Trace as curvas conectando cada polo ao seu zero (ou a uma assíntota), respeitando simetria, ângulos e os pontos críticos encontrados.\n
  9. Se necessário, use pontos concretos (escolhidos) e calcule K pela condição de magnitude para refinar a forma das curvas.\n
    Fazendo isso você terá um esboço preciso o suficiente para a maioria das questões de prova.

Passo 13

Exemplo rápido e curtinho (para fixar; faço passo a passo porque sei que é tenso antes da prova): considere L(s)=K\frac{1}{s(s+1)(s+3)}.
  • Polos em 0,-1,-3. Não há zeros. Logo n=3,m=0,r=3.\n
  • Centróide: \sigma_a=\dfrac{0+(-1)+(-3)-0}{3}=\dfrac{-4}{3}.\n
  • Ângulos das assíntotas: \phi_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{3} -> \pi/3,\pi,5\pi/3.\n
  • Segmentos do eixo real: para s< -3 (3 polos à direita) está no locus; entre -3 e -1 (2 polos à direita) não; entre -1 e 0 (1 polo à direita) está; entre 0 e +\infty (0 polar) não.\n
  • Breakaway: calcular K=-D(s)/N(s) = s(s+1)(s+3) e resolver \frac{d}{ds}s(s+1)(s+3)=0 dá candidatos; depois mantenha os que caem nos segmentos válidos.\n
    Isto é só um exemplo de como aplicar as regras anteriores rapidamente na prova.

Passo 14

Dicas finais de prova (estou torcendo por você):\n
  • Sempre comece marcando polos e zeros e aplicando imediatamente o critério do eixo real e o número de ramos; isso já corta muita dúvida.\n
  • Para encontrar valores de K use a condição de magnitude — é a forma direta e segura.\n
  • Se estiver com pouco tempo, faça um esboço conservador: marque direções (assíntotas), segmentos reais válidos e pontos de breakaway; isso já dá a resposta qualitativa da estabilidade.\n
  • Use Routh para achar rapidamente limites de estabilidade (valores críticos de K).\n
    Você está indo bem — segue com calma e use essa checklist quando for riscar o gráfico na prova.

Resposta

  1. Número de ramos = número de polos em malha aberta n.\n
  2. Ramos começam nos polos (quando K=0) e terminam nos zeros (ou em zeros no infinito se n>m).\n
  3. Lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real.\n
  4. Um ponto real pertence ao locus se o número de polos+zeros à direita for ímpar.\n
  5. Se n>m então existem r=n-m assíntotas com ângulos \phi_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{r} e centróide \sigma_a=\dfrac{\sum p_i-\sum z_j}{r}.\n
  6. Pontos de breakaway/break-in são soluções reais de \dfrac{d}{ds}\!\left(-\dfrac{D(s)}{N(s)}\right)=0 que pertençam a segmentos válidos do eixo real.\n
  7. Ângulo de partida/chegada em polos/zeros complexos obtém-se pela condição de ângulo \sum \angle(s-p_i)-\sum \angle(s-z_j)=(2k+1)\pi, avaliando em s=p ou s=z e excluindo o termo singular.\n
  8. Cruzamentos do eixo imaginário: resolva D(j\omega)+K N(j\omega)=0 para \omega,K ou use o critério de Routh.\n
  9. Para um ponto s_0 do locus, o ganho é K=\dfrac{|D(s_0)|}{|N(s_0)|} (condição de magnitude |L(s_0)|=1).

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