Enuncie as regras básicas para o esboço do lugar das raízes.
Passo 1
O que o enunciado pede: enunciar as regras básicas para o esboço do lugar das raízes (root locus).\n
Informações dadas / assumidas: queremos as regras gerais aplicáveis a um sistema em laço fechado com função de malha aberta , onde
é o ganho variável,
é o polinômio dos zeros em malha aberta e
é o polinômio dos polos em malha aberta. A tarefa é listar e explicar as regras que eu uso na prova para desenhar/esboçar o lugar das raízes quando
varia de
a
.\n
Informações dadas / assumidas: queremos as regras gerais aplicáveis a um sistema em laço fechado com função de malha aberta
Passo 2
Definição fundamental (para a prova): o lugar das raízes é o conjunto dos polos fechados do sistema (raízes da equação característica) quando o ganho
varia de
até
.\n
Equação característica:
Isto é equivalente a
Explicação das letras:
é o polinômio que tem as posições dos polos em malha aberta;
é o polinômio que tem as posições dos zeros em malha aberta;
é o parâmetro que varia e desloca as raízes fechadas. No esboço, vamos trabalhar com as condições de ângulo e magnitude da teoria.
Passo 3
Regra 1 — número de ramos do lugar das raízes: o número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha aberta
(grau de
). Cada ramo começa em um polo de malha aberta quando
e, conforme
cresce, cada ramo vai terminar em um zero em malha aberta (se houver) ou em um “zero no infinito” quando
(onde
é o número de zeros).\n
Por isso, sempre conte os polos em malha aberta: esse é o número de curvas que você vai desenhar.
Por isso, sempre conte os polos em malha aberta: esse é o número de curvas que você vai desenhar.
Passo 4
Regra 2 — pontos de partida e chegada:\n
- Quando
: as raízes fechadas coincidem com os polos abertos (cada ramo começa em um ).\n - Quando
: cada ramo vai para um zero aberto ou, se não houver zeros suficientes ( ), ramos vão para zeros no infinito seguindo as assíntotas.\n
Isto é útil na prova: marque todos os polos (com) e zeros (com ) no plano ; as curvas começam nas e terminam nas (ou no infinito).
Passo 5
Regra 3 — simetria: o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real. Motivo simples: se
tem coeficientes reais, raízes complexas aparecem em conjugados; logo desenhamos sempre simetricamente.\n
Na prática: se você achar um ramo que sai para cima da parte real, deve haver outro ramo simétrico para baixo.
Na prática: se você achar um ramo que sai para cima da parte real, deve haver outro ramo simétrico para baixo.
Passo 6
Regra 4 — quais pontos do eixo real pertencem ao lugar das raízes: critério do eixo real (muito usado em provas): um ponto real
pertence ao lugar das raízes se, ao contar todos os polos e zeros localizados à direita desse ponto (no eixo real), o número total for ímpar.\n
Explicação derivada da condição de ângulo:\n
Explicação derivada da condição de ângulo:\n
A condição de ângulo do lugar das raízes é
No eixo real, os ângulos são múltiplos de
, e o critério reduz ao “número de polos+zeros à direita é ímpar”.\n
Como aplicar: marque todos os polos/zeros na reta real; entre cada par consecutivo você verifica quantos polos+zeros estão à direita; se for ímpar, desenhe ramo ali; se for par, não desenhe.
Como aplicar: marque todos os polos/zeros na reta real; entre cada par consecutivo você verifica quantos polos+zeros estão à direita; se for ímpar, desenhe ramo ali; se for par, não desenhe.
Passo 7
Regra 5 — assíntotas quando
: quando há mais polos que zeros (
),
ramos tendem ao infinito em direção a
assíntotas. As fórmulas úteis são:\n
número de assíntotas: \n
número de assíntotas:
ângulos das assíntotas:
\n
centro (ou centróide) das assíntotas:
onde
é a soma dos polos em malha aberta e
é a soma dos zeros em malha aberta.\n
Como usar na prova: desenhe as assíntotas a partir do ponto real com os ângulos
. Isso dá a direção dos ramos que vão ao infinito.
Como usar na prova: desenhe as assíntotas a partir do ponto real
Passo 8
Regra 6 — pontos de breakaway / break-in (saída/entrada de ramos no eixo real):\n
Conceito: em segmentos do eixo real onde existem múltiplos polos, os ramos podem se separar (breakaway) ou juntar (break-in). Esses pontos são encontrados onde usando a relação de magnitude para
.\n
Conceito: em segmentos do eixo real onde existem múltiplos polos, os ramos podem se separar (breakaway) ou juntar (break-in). Esses pontos são encontrados onde
Formula prática: da equação característica rearranjada temos
Os pontos de breakaway/break-in real são soluções reais de
que caem nos segmentos reais que pertencem ao lugar (veja Regra 4). Em termos de polinômios, isso dá a condição
\n
Como aplicar: calcule esse polinômio, encontre raízes reais, e mantenha só aquelas que pertencem a um segmento real válido (regra do número ímpar).
Passo 9
Regra 7 — ângulo de partida (departure) e de chegada (arrival) em polos/zeros complexos:\n
Quando um ramo sai de um polo complexo (para
pequeno) a direção inicial do ramo (ângulo de partida) pode ser encontrada usando a condição de ângulo da função
. Para um polo
, exclua o ângulo do vetor
ao avaliar em
; a fórmula operacional é:\n
Quando um ramo sai de um polo complexo
Analogamente, para um zero complexo
, o ângulo de chegada do ramo que termina em
é obtido avaliando a condição de ângulo em
, excluindo o termo correspondente ao zero em que se avalia.\n
Dica prática: calcule todos os ângulos dos vetores entre o ponto (polo/zero) e os demais polos/zeros, some com sinais e use a fórmula acima; converta o resultado para graus se preferir.
Dica prática: calcule todos os ângulos dos vetores entre o ponto (polo/zero) e os demais polos/zeros, some com sinais e use a fórmula acima; converta o resultado para graus se preferir.
Passo 10
Regra 8 — cruzamentos do eixo imaginário (pontos onde raízes fechadas passam pelo eixo
):\n
Dois métodos usuais:\n
Dois métodos usuais:\n
- Substituir
na equação característica , separar partes real e imaginária e resolver simultaneamente para e .\n - Usar o critério de Routh-Hurwitz na equação característica
para encontrar valores de que tornem a borda de estabilidade (ou seja, que provoquem perda de estabilidade via cruzamento no eixo imaginário).\n
Na prova: se pedirem estabilidade ou valores críticos de, use Routh — é geralmente mais rápido e robusto.
Passo 11
Regra 9 — condição de magnitude para obter
em um ponto do locus:\n
Se é um ponto no plano complexo que pertence ao lugar das raízes, então deve satisfazer a condição de ângulo e a condição de magnitude. A condição de magnitude dá o valor de
naquele ponto:\n
Se
Na prova: depois de localizar um ponto
no locus (por exemplo, um cruzamento no imaginário ou um ponto numa curva), você pode calcular o ganho
correspondente usando essa fórmula.
Passo 12
Procedimento prático passo a passo para esboçar um lugar das raízes (coloque isso na sua checklist de prova):\n
- Escreva
e marque polos e zeros no plano .\n - Use Regra 3 para lembrar quantos ramos existem (
).\n - Determine os segmentos do eixo real que pertencem ao locus (Regra 4) e desenhe-os.\n
- Se
, calcule o centróide e os ângulos das assíntotas (Regra 5) e desenhe-as.\n - Procure pontos de breakaway/break-in resolvendo
conforme Regra 6; mantenha os que pertencem aos segmentos válidos.\n - Calcule ângulos de partida/chegada em polos/zeros complexos (Regra 7) para orientar os ramos próximos a polos/zeros.\n
- Verifique cruzamentos do eixo imaginário (Regra 8) usando Routh ou substituição
; marque os pontos e calcule usando Regra 9.\n - Trace as curvas conectando cada polo ao seu zero (ou a uma assíntota), respeitando simetria, ângulos e os pontos críticos encontrados.\n
- Se necessário, use pontos concretos (escolhidos) e calcule
pela condição de magnitude para refinar a forma das curvas.\n
Fazendo isso você terá um esboço preciso o suficiente para a maioria das questões de prova.
Passo 13
Exemplo rápido e curtinho (para fixar; faço passo a passo porque sei que é tenso antes da prova): considere
- Polos em
. Não há zeros. Logo .\n - Centróide:
\n - Ângulos das assíntotas:
-> .\n - Segmentos do eixo real: para
(3 polos à direita) está no locus; entre e (2 polos à direita) não; entre e (1 polo à direita) está; entre e (0 polar) não.\n - Breakaway: calcular
e resolver dá candidatos; depois mantenha os que caem nos segmentos válidos.\n
Isto é só um exemplo de como aplicar as regras anteriores rapidamente na prova.
Passo 14
Dicas finais de prova (estou torcendo por você):\n
- Sempre comece marcando polos e zeros e aplicando imediatamente o critério do eixo real e o número de ramos; isso já corta muita dúvida.\n
- Para encontrar valores de
use a condição de magnitude — é a forma direta e segura.\n - Se estiver com pouco tempo, faça um esboço conservador: marque direções (assíntotas), segmentos reais válidos e pontos de breakaway; isso já dá a resposta qualitativa da estabilidade.\n
- Use Routh para achar rapidamente limites de estabilidade (valores críticos de
).\n
Você está indo bem — segue com calma e use essa checklist quando for riscar o gráfico na prova.
Resposta
- Número de ramos = número de polos em malha aberta
.\n - Ramos começam nos polos (quando
) e terminam nos zeros (ou em zeros no infinito se ).\n - Lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real.\n
- Um ponto real pertence ao locus se o número de polos+zeros à direita for ímpar.\n
- Se
então existem assíntotas com ângulos e centróide \n - Pontos de breakaway/break-in são soluções reais de
que pertençam a segmentos válidos do eixo real.\n - Ângulo de partida/chegada em polos/zeros complexos obtém-se pela condição de ângulo
, avaliando em ou e excluindo o termo singular.\n - Cruzamentos do eixo imaginário: resolva
para ou use o critério de Routh.\n - Para um ponto
do locus, o ganho é (condição de magnitude ).