Para o sistema cuja função de transferência da malha aberta é
determine se há um valor de
e calcule o valor desse
caso ele exista de modo que o sistema em malha fechada tenha um polo em:
Passo 1
O enunciado dá a função de ganho em malha aberta
e pede para determinar se existe um valor
e, caso exista, calcular esse
tal que o sistema em malha fechada tenha um polo em
.
Informações relevantes do enunciado:
A partir disso precisamos verificar se existe
que faça
anular a equação característica da malha fechada.
Passo 2
Explicando o que significa "ter um polo em
" e qual equação usar (aula prática, sem pressa):
- Quando se fala do sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa (caso padrão), a função de transferência em malha fechada é
Aqui
é o ganho direto (no numerador) e
representa o elemento de realimentação; o produto
é o loop em malha aberta dado no enunciado. Um polo do sistema em malha fechada é uma raiz do denominador de
, ou seja, é uma solução da equação característica
- Notas sobre símbolos: em
o é a variável complexa da transformada de Laplace; é o ganho escalar que queremos ajustar. Portanto para que seja polo, devemos ter (assumindo realimentação unitária negativa, que é o caso mais comum).
Passo 3
Vamos avaliar
em
. Substituindo
em
obtemos
Agora aplicamos a condição da equação característica para
:
Passo 4
Resolver a equação para
. A equação é
Passo a passo:
- Subtraio
dos dois lados:
- Multiplico ambos os lados por
:
- Divido por
:
Passo 5
Interpretação do resultado em relação à exigência
:
- O valor obtido que faz
ser raiz da equação característica, sob a suposição de realimentação unitária negativa, é . - Esse
é negativo, portanto não pertence a . Conclusão: não existe que faça ser polo do sistema em malha fechada se estivermos considerando realimentação unitária negativa (assunção padrão).
Passo 6
Observação adicional (para evitar confusão comum em provas): se o problema em vez de realimentação negativa estivesse considerando realimentação positiva unitária (situação menos comum), a equação característica seria
e seguindo o mesmo processo teríamos
que é positivo. Portanto, apenas no caso de realimentação positiva unária obteríamos um
.
Resposta
Não existe
que torne
polo do sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa.
Com realimentação unitária negativa: .
(Se a realimentação fosse positiva unária: .)
Com realimentação unitária negativa:
(Se a realimentação fosse positiva unária: