Para o sistema cuja função de transferência da malha aberta é
G(s) H(s)=\frac{K(s+2)}{s^{2}(s+4)}
determine se há um valor de K \in \mathbb{R}^{+}e calcule o valor desse K caso ele exista de modo que o sistema em malha fechada tenha um polo em:
s=1

Passo 1

O enunciado dá a função de ganho em malha aberta
G(s)H(s)=\frac{K(s+2)}{s^{2}(s+4)}
e pede para determinar se existe um valor K\in\mathbb{R}^{+} e, caso exista, calcular esse K tal que o sistema em malha fechada tenha um polo em s=1.
Informações relevantes do enunciado:
\text{Ganho em malha aberta: }G(s)H(s)=\frac{K(s+2)}{s^{2}(s+4)}.
\text{Ponto pedido: } s=1 \text{ deve ser um polo do sistema em malha fechada.}
A partir disso precisamos verificar se existe K>0 que faça s=1 anular a equação característica da malha fechada.

Passo 2

Explicando o que significa "ter um polo em s=1" e qual equação usar (aula prática, sem pressa):
  • Quando se fala do sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa (caso padrão), a função de transferência em malha fechada é
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}.
Aqui G(s) é o ganho direto (no numerador) e H(s) representa o elemento de realimentação; o produto G(s)H(s) é o loop em malha aberta dado no enunciado. Um polo do sistema em malha fechada é uma raiz do denominador de T(s), ou seja, é uma solução da equação característica
1+G(s)H(s)=0.
  • Notas sobre símbolos: em \,G(s)H(s)\, o s é a variável complexa da transformada de Laplace; K é o ganho escalar que queremos ajustar. Portanto para que s=1 seja polo, devemos ter 1+G(1)H(1)=0 (assumindo realimentação unitária negativa, que é o caso mais comum).

Passo 3

Vamos avaliar G(s)H(s) em s=1. Substituindo s=1 em
G(s)H(s)=\frac{K(s+2)}{s^{2}(s+4)}
obtemos
G(1)H(1)=\frac{K(1+2)}{1^{2}(1+4)}=\frac{3K}{5}.
Agora aplicamos a condição da equação característica para s=1:
1+G(1)H(1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1+\frac{3K}{5}=0.

Passo 4

Resolver a equação para K. A equação é
1+\frac{3K}{5}=0.
Passo a passo:
  • Subtraio 1 dos dois lados:
\frac{3K}{5}=-1.
  • Multiplico ambos os lados por 5:
3K=-5.
  • Divido por 3:
K=-\frac{5}{3}.

Passo 5

Interpretação do resultado em relação à exigência K\in\mathbb{R}^{+}:
  • O valor obtido que faz s=1 ser raiz da equação característica, sob a suposição de realimentação unitária negativa, é K=-\dfrac{5}{3}.
  • Esse K é negativo, portanto não pertence a \mathbb{R}^{+}. Conclusão: não existe K>0 que faça s=1 ser polo do sistema em malha fechada se estivermos considerando realimentação unitária negativa (assunção padrão).

Passo 6

Observação adicional (para evitar confusão comum em provas): se o problema em vez de realimentação negativa estivesse considerando realimentação positiva unitária (situação menos comum), a equação característica seria
1-G(s)H(s)=0,
e seguindo o mesmo processo teríamos
1-\frac{3K}{5}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3K}{5}=1 \quad\Rightarrow\quad K=\frac{5}{3},
que é positivo. Portanto, apenas no caso de realimentação positiva unária obteríamos um K\in\mathbb{R}^{+}.

Resposta

Não existe K\in\mathbb{R}^{+} que torne s=1 polo do sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa.
Com realimentação unitária negativa: K=-\dfrac{5}{3}.
(Se a realimentação fosse positiva unária: K=\dfrac{5}{3}.)

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