Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-2,-2),(-1,5) e (-2,2).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 7.2
(B) 8.2
(C) 9.2
(D) 10.2
(E) 11.2
(F) 12.2
(G) 13.2
(H) 14.2
Passo 1
O enunciado nos dá que a equação geral do círculo, após abrir os quadrados, é
Determinar o centro (x_{0},y_{0}) do círculo que passa por esses três pontos.
Determinar o raio r desse círculo.
Entre as opções fornecidas, indicar qual valor é o mais próximo do raio calculado.
Passo 2
Plano de ação (sem resolver ainda): cada ponto satisfaz a equação
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
então ao substituir as coordenadas de cada ponto obtemos três equações lineares nas incógnitas a,b,c. Essas três equações serão resolvidas para encontrar a,b,c, e então usamos
Explicação rápida do método de eliminação: as três equações (1), (2), (3) têm o mesmo lado direito c. Subtraindo pares de equações, eliminamos c e obtemos relações lineares entre a e b. Isso é útil porque reduz o sistema 3×3 para equações mais simples em a e b.
Explicação do número: \sqrt{5}\approx2{,}236, multiplicando por 5 dá aproximadamente 11{,}18.
Passo 11
Comparar com as opções fornecidas. O valor aproximado do raio é 11{,}18, portanto a opção cuja aproximação é mais próxima é a que corresponde a 11{,}2, ou seja a alternativa (E).