Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-2,-2),(-1,5) e (-2,2).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 7.2
(B) 8.2
(C) 9.2
(D) 10.2
(E) 11.2
(F) 12.2
(G) 13.2
(H) 14.2

Passo 1

O enunciado nos dá que a equação geral do círculo, após abrir os quadrados, é
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
com as relações
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Os pontos por onde o círculo passa são:
(-2,-2),\qquad (-1,5),\qquad (-2,2).
O que a questão pede:
  • Determinar o centro (x_{0},y_{0}) do círculo que passa por esses três pontos.
  • Determinar o raio r desse círculo.
  • Entre as opções fornecidas, indicar qual valor é o mais próximo do raio calculado.

Passo 2

Plano de ação (sem resolver ainda): cada ponto satisfaz a equação
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
então ao substituir as coordenadas de cada ponto obtemos três equações lineares nas incógnitas a,b,c. Essas três equações serão resolvidas para encontrar a,b,c, e então usamos
x_{0}=-\dfrac{a}{2},\qquad y_{0}=-\dfrac{b}{2},\qquad r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}
para obter centro e raio.

Passo 3

Substituir cada ponto em x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Para (-2,-2):
(-2)^{2}+a(-2)+(-2)^{2}+b(-2)=c
ou seja
8-2a-2b=c. \tag{1}
Para (-1,5):
(-1)^{2}+a(-1)+5^{2}+b(5)=c
ou seja
26-a+5b=c. \tag{2}
Para (-2,2):
(-2)^{2}+a(-2)+2^{2}+b(2)=c
ou seja
8-2a+2b=c. \tag{3}

Passo 4

Explicação rápida do método de eliminação: as três equações (1), (2), (3) têm o mesmo lado direito c. Subtraindo pares de equações, eliminamos c e obtemos relações lineares entre a e b. Isso é útil porque reduz o sistema 3×3 para equações mais simples em a e b.

Passo 5

Subtrair (1) de (2) para eliminar c:
(26-a+5b)-(8-2a-2b)=0
Calcule termo a termo:
26-a+5b-8+2a+2b=0
a+7b+18=0
Logo
a+7b=-18. \tag{4}

Passo 6

Subtrair (3) de (1) para eliminar c:
(8-2a-2b)-(8-2a+2b)=0
Calcule:
8-2a-2b-8+2a-2b=0
-4b=0
Portanto
b=0. \tag{5}

Passo 7

Substituir b=0 em (4):
a+7\cdot 0=-18 \quad\Rightarrow\quad a=-18. \tag{6}

Passo 8

Agora obter c. Use a equação (3) por exemplo:
8-2a+2b=c.
Substituindo a=-18 e b=0:
c=8-2(-18)+2\cdot 0=8+36=44.
Logo
c=44. \tag{7}

Passo 9

Relacionar a,b,c ao centro e ao raio. Lembrando as fórmulas:
x_{0}=-\dfrac{a}{2},\qquad y_{0}=-\dfrac{b}{2},\qquad r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Substituir a=-18 e b=0:
x_{0}=-\dfrac{-18}{2}=9,\qquad y_{0}=-\dfrac{0}{2}=0.
Portanto o centro é
(x_{0},y_{0})=(9,0).

Passo 10

Calcular o raio. Primeiro r^{2}:
r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=44+9^{2}+0^{2}=44+81=125.
Logo
r=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx11{,}18.
Explicação do número: \sqrt{5}\approx2{,}236, multiplicando por 5 dá aproximadamente 11{,}18.

Passo 11

Comparar com as opções fornecidas. O valor aproximado do raio é 11{,}18, portanto a opção cuja aproximação é mais próxima é a que corresponde a 11{,}2, ou seja a alternativa (E).

Resposta

Centro: (9,0)
Raio: r=\sqrt{125}\approx11{,}18
Alternativa: (E) 11,2