A equação de estado de qualquer substância elástica ideal é dada por:
F=K T(LL0-L0^2L^2)
Onde K é uma constante, e L0 (o valor de L quando a tensão F é nula) é uma função somente da temperatura.
(a) Mostre que o Módulo de Young Isotérmico Y é dado por:
Y=FA+3 K T L0^2A L^2
Onde A é a área de seção reta da substância.
(b) Mostre que o Módulo de Young Isotérmico quando a tensão é nula ( Y0 ) é dado por:
Y0=3 K TA
© Mostre que a expansividade linear alpha é dada por:
alpha=1L(partial Lpartial T)F=alpha0-FA Y T=alpha0-1T[(L^3L0^3)-1(L^3L0^3)+2]
Aqui, alpha0 é o valor da expansividade linear quando a tensão F é nula, ou seja:
alpha0=1L0(partial L0partial T)F
(d) Assuma os seguintes valores para uma amostra de borracha: T=300 K, K=1,333 times 10^-2 NK, A=1,00 times 10^-6 m^2 e alpha0=5,00 times 10^-4 K^-1. Calcule F, Y e alpha quando a amostra é esticada até um comprimento final L=2 L0.

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos com uma substância elástica ideal cuja equação de estado é dada por
F=K Tl(LL0-L0^2L^2r)
Queremos (a) obter o Módulo de Young isotérmico Y, (b) Y0 quando F=0, © a expansividade linear alpha=(1/L)(partial L/partial T)F em função de alpha0 e (d) calcular numericamente F,Y,alpha para L=2L0.

Passo 2

Para (a) definimos a tensão sigma=F/A e o pequeno alongamento infinitesimal dvarepsilon=dL/L. O módulo de Young isotérmico é
Y=dsigmadvarepsilon=1/A,dF/dL1/L=LAdFdL
Como
dFdL=KTl(1L0+2L0^2L^3r)
segue-se
Y=KTAl(LL0+2L0^2L^2r) =FA+3,KT,L0^2A,L^2

Passo 3

Para (b), em tensão nula F=0 implica L=L0. Substituindo em
Y=FA+3,KT,L0^2A,L^2
vem
Y0=3,KTA

Passo 4

Para ©, mantemos F constante e derivamos
0=ddTl[KT(tfracLL0-tfracL0^2L^2)r]
Tratando L=L(T) e L0=L0(T), usa-se alpha=(1/L)dL/dT e alpha0=(1/L0)dL0/dT. Após reorganizar os termos e usar o resultado de Y, chega-se a
alpha=alpha0-FA,Y,T =alpha0-1T,(L^3/L0^3)-1(L^3/L0^3)+2

Passo 5

Para (d), tomando L=2L0 temos
F=KTl(2-tfrac14r)=tfrac74,KT=(7.00),N,
pois KT=1,333times10^-2times300=4,00, N. Em seguida
Y=FA+3KTA(2)^2=7,0010^-6+3times4,0010^-6times4=7,0times10^6+3,0times10^6=1,0times10^7,Pa
Por fim
alpha=alpha0-FA Y T=5,00times10^-4-7,0010^-6times1,0times10^7times300approx-1,83times10^-3,K^-1

Resposta

F=7,00, N, Y=1,00times10^7,Pa, alphaapprox-1,83times10^-3,K^-1

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