A Equação da Onda
Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, esta mostrará um padrão regular de picos e depressões em um dado instante. Veremos movimento vertical periódico no espaço, em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimento periódico vertical no tempo. Em física essa bela simetria é expressa pela equação de onda unidimensional
\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}
Onde w é a altura da onda, x é a variável distância, t é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam. Mostre que a função w=\operatorname{sen}(x+c t) é solução da equação da onda

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a função w=\operatorname{sen}(x+c t) é solução da equação
\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=c^{2}\,\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}.
Informações dadas:
\text{a função: }w(x,t)=\operatorname{sen}(x+ct),çã
\text{o PDE: }\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=c^{2}\,\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}},
x\text{ é a coordenada espacial, }t\text{ é o tempo, e }c\text{ é uma constante (velocidade).}ééé

Passo 2

Preparação para derivar (ideia e regra que vamos usar).
Quando temos uma função composta do tipo w(x,t)=f(u(x,t)), para calcular derivadas parciais usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia, no caso parcial em relação a t, diz:
\frac{\partial}{\partial t}f(u(x,t))=f'(u(x,t))\cdot\frac{\partial u}{\partial t}.
Aqui f'(u) é a derivada de f em relação a sua variável (não em relação a x ou t), e \partial u/\partial t é a derivada parcial de u em relação a t. Nós vamos aplicar isso com f(\cdot)=\sin(\cdot) e u(x,t)=x+ct.
Observação de notação: o enunciado usa “sen” para seno; em LaTeX usamos \sin, portanto a função é w(x,t)=\sin(x+ct).

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a t.
Defina u(x,t)=x+ct. Então w(x,t)=\sin(u(x,t)).
Calculamos \partial u/\partial t:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(x+ct)=c,
porque x é tratado como constante quando derivamos em relação a t e ct tem derivada c.
Agora apliquei a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial t}=\cos(u(x,t))\cdot\frac{\partial u}{\partial t}=\cos(x+ct)\cdot c.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial t}=c\cos(x+ct).

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial em relação a t, \partial^{2}w/\partial t^{2}.
Partimos de \frac{\partial w}{\partial t}=c\cos(x+ct). Agora derivamos novamente em relação a t. Aplicamos a regra da cadeia outra vez: a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u), e multiplicamos por u_t=c. Assim,
\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\big(c\cos(x+ct)\big)=c\cdot\big(-\sin(x+ct)\big)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(x+ct).
Substituindo \frac{\partial}{\partial t}(x+ct)=c obtemos
\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=-c^{2}\sin(x+ct).

Passo 5

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x.
Voltando a u(x,t)=x+ct, calculamos \partial u/\partial x:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+ct)=1,
pois ct é tratado como constante quando derivamos por x.
Aplicando a regra da cadeia para w=\sin(u):
\frac{\partial w}{\partial x}=\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\cos(x+ct)\cdot 1=\cos(x+ct).

Passo 6

Calcular a segunda derivada parcial em relação a x, \partial^{2}w/\partial x^{2}.
Derivando \frac{\partial w}{\partial x}=\cos(x+ct) em relação a x e usando a regra da cadeia (a derivada de \cos é -\sin e multiplicamos por u_x=1):
\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(x+ct)\big)=-\sin(x+ct)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+ct)=-\sin(x+ct).

Passo 7

Verificar a equação substituindo as derivadas encontradas.
Temos
\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=-c^{2}\sin(x+ct)
e
c^{2}\,\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}=c^{2}\cdot\big(-\sin(x+ct)\big)=-c^{2}\sin(x+ct).
Como os dois lados são iguais para todo x,t,
\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=c^{2}\,\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}},
logo w(x,t)=\sin(x+ct) satisfaz a equação dada.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumindo o método):
  1. Identifique que w é uma composição \sin(u(x,t)) com u=x+ct.
  2. Use a regra da cadeia para calcular \partial w/\partial t e \partial w/\partial x.
  3. Diferencie novamente para obter as segundas derivadas.
  4. Compare \partial^{2}w/\partial t^{2} com c^{2}\,\partial^{2}w/\partial x^{2}. Se forem iguais, você tem uma solução.
    Siga esses passos na prova — é rápido e seguro.

Resposta

w(x,t)=\sin(x+ct) é solução da equação porque \dfrac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=-c^{2}\sin(x+ct)=c^{2}\dfrac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}.

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