A Equação da Onda
Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma fotografia das ondas, esta mostrará um padrão regular de picos e depressões em um dado instante. Veremos movimento vertical periódico no espaço, em relação à distância. Se ficarmos na água, poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas. Veremos movimento periódico vertical no tempo. Em física essa bela simetria é expressa pela equação de onda unidimensional
Onde w é a altura da onda, x é a variável distância, t é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam. Mostre que a função
é solução da equação da onda
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a função
é solução da equação
Informações dadas:
Passo 2
Preparação para derivar (ideia e regra que vamos usar).
Quando temos uma função composta do tipo , para calcular derivadas parciais usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia, no caso parcial em relação a
, diz:
Quando temos uma função composta do tipo
Aqui
é a derivada de
em relação a sua variável (não em relação a
ou
), e
é a derivada parcial de
em relação a
. Nós vamos aplicar isso com
e
.
Observação de notação: o enunciado usa “sen” para seno; em LaTeX usamos
, portanto a função é
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
.
Defina
. Então
.
Calculamos :
Calculamos
porque
é tratado como constante quando derivamos em relação a
e
tem derivada
.
Agora apliquei a regra da cadeia:
Portanto
Passo 4
Calcular a segunda derivada parcial em relação a
,
.
Partimos de
. Agora derivamos novamente em relação a
. Aplicamos a regra da cadeia outra vez: a derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos por
. Assim,
Substituindo
obtemos
Passo 5
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
.
Voltando a
, calculamos
:
pois
é tratado como constante quando derivamos por
.
Aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 6
Calcular a segunda derivada parcial em relação a
,
.
Derivando
em relação a
e usando a regra da cadeia (a derivada de
é
e multiplicamos por
):
Passo 7
Verificar a equação substituindo as derivadas encontradas.
Temos
e
Como os dois lados são iguais para todo
,
logo
satisfaz a equação dada.
Passo 8
Dica prática para a prova (resumindo o método):
- Identifique que
é uma composição com . - Use a regra da cadeia para calcular
e . - Diferencie novamente para obter as segundas derivadas.
- Compare
com . Se forem iguais, você tem uma solução.
Siga esses passos na prova — é rápido e seguro.