A equação de uma onda transversal em uma corda de 40 m de comprimento, que se encontra esticada horizontalmente por uma tração de 200 N , é:
y(x, t)=(0,3 m m) \operatorname{sen}\left[\left(2,5 m^{-1}\right) x+\left(100 s^{-1}\right) t\right]
Calcule:
(2 pts) O comprimento de onda.

Passo 1

O enunciado fornece a equação da onda:
y(x,t)=(0,3\\ \text{mm})\operatorname{sen}\!\left[\left(2,5\\ \text{m}^{-1}\right)x+\left(100\\ \text{s}^{-1}\right)t\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude é (0,3\\ \text{mm}) (não será necessária para o comprimento de onda).
  • O coeficiente que multiplica x é k=2,5\\ \text{m}^{-1}. (peguei esse valor diretamente da expressão da onda).
    O que o problema pede:
  • Calcular o comprimento de onda \lambda.

Passo 2

Explicação da relação entre número de onda k e comprimento de onda \lambda.
  • Definição: o número de onda k mede quantos radianos de fase a onda varia por metro. A relação padrão entre k e \lambda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
  • Aqui:
    • k é o número de onda, com unidade \text{m}^{-1}.
    • \lambda é o comprimento de onda, com unidade \text{m}.
      Essa fórmula vem do fato de que uma oscilação completa em espaço corresponde a um avanço de fase de 2\pi radianos, então a cada \lambda metros a fase aumenta em 2\pi.

Passo 3

Isolar \lambda na relação k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
\lambda=\frac{2\pi}{k}.

Passo 4

Substituir o valor de k extraído da equação ( k=2,5\\ \text{m}^{-1}) e calcular numericamente.
\lambda=\frac{2\pi}{2,5} = 0,8\pi.
Agora aproximando \pi\approx3,1416:
\lambda \approx 0,8\times3,1416 = 2,51328\\ \text{m}.
Arredondando de forma razoável (dados com duas casas significativas em k), fica:
\lambda \approx 2,51\\ \text{m}.

Resposta

\lambda=2,51\\ \text{m}