Se a equação Q^n cdot P^2+S cdot P+R=(Q+5 tan beta) / V é dimensionalmente correta, onde V possui dimensão de velocidade, determine [P].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação onde precisamos determinar a dimensão de . A matéria envolvida aqui é análise dimensional, que ajuda a verificar se uma equação está correta em termos das unidades físicas usadas. Para resolver, vamos precisar entender as dimensões de cada termo na equação e garantir que todos lados da equação tenham a mesma dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Q^n cdot P^2 + S cdot P + R = Q + 5 tan betaV
Sabemos que tem a dimensão de velocidade, ou seja, , onde é comprimento e é tempo.

Passo 3

Para que a equação seja dimensionalmente correta, todos os termos do lado esquerdo devem ter a mesma dimensão que o lado direito. Vamos analisar cada termo:
  1. Termo [Q^n] cdot [P^2] = [Q]^n cdot [P]^2 :
    [S] cdot [P]
  2. Termo [R] :
    [Q] = 1
  3. Termo 1[V] = [V]^-1 :
  4. Lado direito :
    Aqui, é uma função trigonométrica e, portanto, adimensional. Isso significa que também deve ser adimensional para que a soma faça sentido. Assim:
    Então, a dimensão do lado direito é:

Passo 4

Agora, igualamos as dimensões dos termos do lado esquerdo à dimensão do lado direito [Q]^n cdot [P]^2 = 1^n cdot [P]^2 = [P]^2 = [V]^-1 :
  1. Para [P]^2 = [V]^-1 implies [P] = [V]^-1/2 :
    Portanto:
  2. Para e :
    Ambos os termos também devem ter a dimensão , mas já determinamos que , o que satisfaz a igualdade dimensional para esses termos.

Resposta

A dimensão de é .

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