Na equação reduzida da reta as variáveis y e z são escritas em função da variável x. Determine a equação reduzida da reta que contém o ponto (2,1,3) e cuja direção é dada pelo vetor v = i +2j +4k.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma reta no espaço tridimensional. O enunciado diz que a reta passa pelo ponto (2, 1, 3) e tem como direção o vetor v = i + 2j + 4k. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica. Vamos precisar lembrar como se escreve a equação de uma reta usando um ponto e um vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida de uma reta no espaço pode ser escrita de duas maneiras: paramétrica ou reduzida. Como o enunciado menciona que y e z são funções de x, vamos focar na forma reduzida.
A forma reduzida da equação de uma reta que passa pelo ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ e tem vetor de direção $ \vec{v} = (a, b, c) $ é dada por:
Passo 3
Vamos identificar os valores no nosso caso:
- Ponto dado: $ (2, 1, 3) $ então $ x_0 = 2 $, $ y_0 = 1 $, $ z_0 = 3 $
- Vetor de direção: $ \vec{v} = i + 2j + 4k $ então $ a = 1 $, $ b = 2 $, $ c = 4 $
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da equação reduzida, temos:
Passo 5
Para deixar a equação mais clara, podemos escrever cada expressão igualada à terceira parte:
Isso mostra como y e z variam em função de x.
Resposta
A equação reduzida da reta é: